3.2立体几何中的向量方法(三)
学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点 利用空间向量求空间角 思考1 空间角包括哪些角？ 答案 线线角、线面角、二面角． 思考2 求解空间角常用的方法有哪些？ 答案 传统方法和向量法．
梳理 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条直线所成角为θ，则cos θ＝|cos_φ|＝
|a·b|
. |a||b|
(2)线面角：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
?θ＝?ππ
〈a，n〉－，当〈a，n〉∈?，π].?22
(3)二面角的求法：
ππ－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，]，22
①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向)．
如图所示，二面角α－l－β的大小为θ，A，B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l于→→→→A，BD⊥l与B，则θ＝〈AC，BD〉＝〈CA，DB〉．
②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．
如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角．
③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.
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类型一 求两条异面直线所成的角
例1 如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)， O1(0,1，3)，A(3，0,0)， A1(3，1，3)，B(0,2,0)， →
∴A1B＝(－3，1，－3)， →
O1A＝(3，－1，－3)． →→
∴|cos〈A1B，O1A〉| →→|A1B·O1A|＝
→ →|A1B |·|O1A|＝
|?－3，1，－3?·?3，－1，－3?|1
＝. 77·7
1
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
7
反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．
跟踪训练1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
→→
A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则AE＝(－1,0,2)，CF＝(1，－1,2)， →→→→∴|AE|＝5，|CF|＝6，AE·CF＝－1＋0＋4＝3. →→→→→→又AE·CF＝|AE||CF|cos〈AE，CF〉 →→＝30cos〈AE，CF〉，
3030→→
∴cos〈AE，CF〉＝，∴所求值为. 1010
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类型二 求直线和平面所成的角
例2 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)， C1?－3?
2a，a2，2a??
，
方法一 取Aa→
1B1的中点M，则M(0，2，2a)，连接AM，MC1，有MC1＝(－
32
a,0,0)，AB→
＝(0，a,0)， AA→
1＝(0,0，2a)．
∴MC→·AB→＝0，MC→·AA→111＝0， ∴MC→→→→1⊥AB，MC1⊥AA1， 则MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A， ∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角． 由于AC→1＝??－32a，a→
a2，2a??，AM＝(0，2，2a)，
∴AC→→1·AM＝0＋a29a24＋2a2
＝4，
|AC→
1|＝ 3a2a24＋4＋2a2＝3a， |AM→|＝
a24＋2a2＝32
a， 9a2
∴cos〈AC→→
〉＝
41，AM＝33a×
3a2
. 2
∵〈AC→→[0°，180°]，∴〈AC→→
1，AM〉∈1，AM〉＝30°， 又直线与平面所成的角∈[0°，90°]， ∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法二 AB→＝(0，a,0)，AA→
1＝(0,0，2a)， AC→
1＝??－32a，a2，2a??
.
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，y，z)， ∴n·AB→＝0且n·AA→
1＝0.∴ay＝0且2az＝0.
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∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0)． 3a→
∵AC1＝?－a，，2a?，
2?2?→n·AC1λ→
∴cos〈AC1，n〉＝＝－，
2|λ|→
|n||AC1|1→
∴|cos〈AC1，n〉|＝.
2
又直线与平面所成的角∈[0°，90°]， ∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
1→
，0，0?，S(0,0,1)．∴AS＝设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D??2?→
(0,0,1)，CS＝(－1，－1,1)．
→→
显然AS是底面的法向量，它与已知向量CS的夹角β＝90°－θ， →→
AS·CS13
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
3→→
|AS||CS|1×3∵θ∈[0°，90°]， ∴cos θ＝1－sin2θ＝类型三 求二面角
例3 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则→→
C(b,0,0)，B(0，a,0)，BA＝CD. ∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
6. 3
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baab
，－，?，O?，0，0?， ∴E?22??2?2?aa→→
0，－，?，AC＝(b,0,0)． OE＝?22??→→∵OE·AC＝0，
a→→→1→→→
0，－，0?，OF·∴OE⊥AC，OF＝BA＝?AC＝0. 2??2→→
∴OF⊥AC.
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)． →→OE·OF2→→
cos〈OE，OF〉＝＝.
2→→
|OE||OF|∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵PA⊥平面ABCD，
→
∴AP＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量， baa→→
，－，?，AC＝(b,0,0)． AE＝?22??2设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)． →?AE＝0，?m·
由?
→?AC＝0，?m·baa??2x－2y＋2z＝0，得? ??bx＝0.∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)， →
m·APa2→
cos〈m，AP〉＝＝＝.
→2·a2|m||AP|∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求
出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角． 跟踪训练3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A—PB—C的余弦值．
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立体几何中的向量方法(三)
