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泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知复数z?1?i,则z等于（） iA．1B．2C．2D．22
2.已知角?的终边经过P?1,2?,则cos2?等于（）
A．?B．
35513C．D．
5553.已知命题“若直线l与平面?垂直,则直线l与平面?内的任意一条直线垂直”,则其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是（） A．0B．1C．2D．3
23454.已知?ax?b??a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x,若a0?1,a1?10,则a2等于（）
5A．10B．20C．40D．80
5.运行如图所示的程序框图,则输出的S的值为（）
信达
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A．?10B．?7C．9D．12
?x?0?6.已知x,y满足?x?y?5?0,则z?mx?y?0?m?1?的最大值是（）
?2x?y?1?0?A．?1B．5C．7D．2m?3
7.已知抛物线C:y?4x,若等边三角形PQF中,P在C上,Q在C的准线上,F为C的焦点,则PF?（） A．8B．4C．3D．2
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）
2
A．68B．72C．84D．90
9.已知函数f?x??sin??x????0???4,??间为（）
????2??,若f??????6???2?f??3???2,则函数f?x?的单调递增区?信达
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A．??k??k?5???k??k????,?,k?Z?,??,k?Z B．???26212??21226???C．?k???6,k??2??????,k?Zk??,k??,k?Z D．??3?36???ex?110.已知函数f?x??x,则下列判断错误的是（）
e?1A．f?2016??f??2016??0B．f?2015??f??2016??0 C．f?2015??f??2016??1D．f?2015??f??2016???1
uuuruuur11.已知AB是圆x?y?1的一条直径,点P在圆?x?4???y?3??1上,则PAgPB的最小值为（）
2222A．15B．17C．24D．35
12.已知函数f?x???2a?1?ex?a2x?1有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是（） A．??1,???1?1???1??1??1,??,0? ?,0B．C．D．??????2?2???2??2?第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知正方形的四个顶点分别为O?0,0?,A?1,0?,B?1,1?,C?0,1?,将x轴、直线x?1和曲线C:y?x所围
2成的封闭区域记为?,若在正方形OABC内任取一点P,则点P落在?内的概率等于 ．
x2y214.已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线的方程为x?2y?0,P是C上一点,且OP的最
ab小值等于2,则该双曲线的标准方程为 ．
15.正四棱锥P?ABCD中,?APC?60,H为底面ABCD的中心,以PH为直径的球O分别与
oPA,PB,PC,PD交于A',B',C',D',若球O的表面积为3?,则四边形A',B',C',D'的面积等于 ．
16.?ABC中,?BAC?45,AD?BC于D,BD?2,DC?3,则AC边上中线BE的长等于 ．
o三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?2,Sn?an?1?2.
信达
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（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足21bn?a1a2...an,且kg?b1?b2?...?bn??an?n?N??,求实数k的最大值.
18.（本小题满分12分）某公司采用众筹的方式募集资金,开发一种创新科技产品,为了解募集资金x(单位：万元)与收益率y之间的关系,对近6个季度筹到的资金xi和收益率y1的数据进行统计,得到如下数据表：
x 2.00 2.20 2.60 3.20 3.40 4.00 y 0.22 0.20 0.30 0.48 0.56 0.60 （1）通过绘制并观察散点图的分布特征后,分别选用y?a?bx与y?c?dlgx作为众筹到的资金x与收益率y的拟合方式,再经过计算,得到这两种拟合方式的回归方y?0.34?0.02x,y??0.27?1.47lgx和下表统计数值,试运用相关指数比较以上两回归方程的拟合效果；
y?a?bx y?c?dlgx 62??y?y?ii?162 y? ??y?μy? ??y?μiiiii?1i?1620.15 0.13 0.01 (2)根据拟合效果较好的回归方程,解答：
①预测众筹资金为5万元时的收益率.(精确到0.0001) ②若众筹资金服从正态分布Nn??,??,试求收益率在75.7522ii00以上的概率.
附：???相关指数R?1?2y)?(y?μ?(y?y)ii?1i?1n；
2???若随机变量X:N??,?2?,则
P?????X??????0.6826,P???2??X???2???0.9544,P???3??X???3???0.9974；
?????参考数据：lg2?0.3010,lg3?0.4771
19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P?ABCD中,PA?平面
信达
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ABCD,BCPAD,?BAD?120o,AP?AB?AD?2BC.
（1）在平面PAB内,过点B作直线l,使得lP平面PCD(保留作图痕迹),并加以证明；
（2）求直线PB和平面PCD所成角的正弦值.
2x2y2,A,B分别是椭圆的上顶点、右20.（本小题满分12分）已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的离心率为2ab顶点,原点O到直线AB的距离为（1）求E的方程； （2）直线l1,l2的斜率均为
6. 32,直线l1与E相切于点M(点M在第二象限内),直线l2与E相交于P,Q两2点,MP?MQ,求直线l2的方程.
21.（本小题满分12分）已知函数f?x???x?a?ln?ax??a?0且a?0?的图象与x轴交于A?x1,0?,B?x2,0?两点.
（1）设曲线y?f?x?在A,B处的切线的斜率分别为k1,k2,求证：k1?k2?0； （2）设x0是f?x?的极值点,比较x1x2,x0,x1?x2的大小. 2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,圆O是?ABC的外接圆,AD垂直平分BC并交圆O于D点,直线CE与圆O相切于点C,与AB的延
信达
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