第4讲 数列求和
[基础达标]
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a12＝( ) A．18 C．－18
B．15 D．－15
n解析：选A.记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋
a2＋…＋a11＋a12
＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18.
?1?
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列??的前
?an?
5项和为( )
15
A．或5
831C． 16
31
B．或5 1615D．
8
3
6
9（1－q）1－q解析：选C.设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，
1－q1－q?1?131
所以数列??是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.
216?an?
3．数列{an}的通项公式是an＝A．120 C．11
解析：选A.an＝
1
1
n＋n＋1
，若前n项和为10，则项数n为( )
B．99 D．121
n＋1－n＝＝n＋1－n，所以a1
n＋n＋1（n＋1＋n）（n＋1－n）
＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝10.即n＋1＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
4．设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4a8＝32，则S11的最小值为( ) A．222 C．22
B．442 D．44
解析：选B.因为数列{an}为各项均为正数的等差数列，所以a4＋a8≥2a4a8＝82，S11
1
（a1＋a11）×111111＝＝(a4＋a8)≥×82＝442，故S11的最小值为442，当且仅当a4＝
222
a8＝42时取等号．
121
5．设等比数列{an}的各项均为正数，且a1＝，a4＝4a2a8，若＝log2a1＋log2a2＋…＋
2bnlog2an，则数列{bn}的前10项和为( )
20
A．－ 119C．－ 5
2
20B． 119D． 5
32
7
解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝4a2a8，所以(a1q)＝4a1q·a1q，即1?n111?－n－n4q＝1，所以q＝或q＝－(舍)，所以an＝??＝2，所以log2an＝log22＝－n，所以＝
22bn?2?
2
－(1＋2＋3＋…＋n)＝－
n（1＋n）
2
，所以bn＝－1?2?1
＝－2?－?，
n（1＋n）?nn＋1?
所以数列{bn}的前10项和为
??1??11??11??－2??1－?＋?－?＋…＋?－??＝
??2??23??1011??
1?20?－2?1－?＝－. 11?11?
6．(2019·杭州八校联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A．3－1 1＋3
C． 2
2
2
2
2
2
2
n1－（－3）B．
23n＋nD．
2
2
nn解析：选A.由点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，得an－9an－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1
)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，所以an＋3an－1>0，所以an－3an－1＝0，即an＝an－1
a1（1－qn）
3，所以数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝
1－q2×（3－1）n＝3－1，故选A.
3－1
7．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18
＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， 所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60.
2
n答案：60
1x?1??2??n－1?，*
8．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f??＋f??＋…＋f?其中n∈N，且n≥2，?21－x?n??n??n?则Sn＝________．
1x11－x解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1，
21－x2x??1??n－1??＋[f?2?＋f?n－2?]＋…＋?f?n－1?＋f?1??＝n－1.
所以2Sn＝?f??＋f?????????????
??n?
2 ?n???n??n???n??n??
所以Sn＝答案：
n－1
.
n－1
2
?
9．数列?
?199
?的前n项和为，则n的值为________．
100?n（n＋1）?
解析：由题意得
11111111111
＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－1×22×33×4n×（n＋1）122334n11n99
＝1－＝＝.所以n＝99. n＋1n＋1n＋1100
答案：99
12
10．(2019·温州中学高三模考)已知数列{an}满足：a1＝，an＋1＝an＋an，用[x]表示不
2超过x的最大整数，则?
?1＋1＋…＋1?的值等于________．
a2 017＋1??a1＋1a2＋1?
2
2
2
解析：因为an＋1＝an＋an，故an＋1－an＝an>0，即数列{an}是递增数列，由an＋1＝an＋an可得an＋1＝an(an＋1)，所以
所以1<1.
答案：1
11．(2019·金华十校联考)设数列{an}的各项均为正数，且a1，2，a2，2，…，an，2，…成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sk≥30(2＋1)，求正整数k的最小值． 22
解：(1)设等比数列的公比为q，则q＝2＝2，
2
2
4
2
4
2n11111＝－，从而＝－， an＋1anan＋1an＋1anan＋1
1
111111?1＋1＋…＋1?＝
＋＋…＋＝－<＝2，故?a2 017＋1?a1＋1a2＋1a2 017＋1a1a2 018a1?a1＋1a2＋1?
k又由题意q＞0，故q＝2， 22n－1
从而an＝＝2，
2nq 3
即数列{an}的通项公式为an＝2
2n－1
.
2
(2)由(1)知a1＝2，数列{an}是以2为公比的等比数列， 2[1－（2）]22n故Sn＝＝(2－1)． 2
1－23
22k2kkkkk因此不等式Sk≥30(2＋1)可化为(2－1)≥30(2＋1)，即(2－1)(2＋1)≥30(2＋
331)，
因为2＋1＞0， 所以2≥46， 即k≥log246， 又5＜log246＜6，
所以正整数k的最小值为6.
3
12．(2019·温州市普通高中模考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝(n＋1)an2＋1(n≥2)．
(1)求{an}的通项公式；
17**
(2)设bn＝(n∈N)． 2(n∈N)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<（an＋1）10解：(1)当n＝2时，2S2＝3a2＋1，解得a2＝2. 当n＝3时，2S3＝4a3＋1， 解得a3＝3.
当n≥3时，2Sn＝(n＋1)an＋1，2Sn－1＝nan－1＋1， 以上两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1， 所以＝所以＝
kk2
nanan－1
，
nn－1
anan－1a2
＝…＝＝1，
nn－12
3??，n＝1所以an＝?2.
??n，n≥2
4
??25，n＝11
(2)证明：b＝＝，
（a＋1）?1
??（n＋1），n≥2
n2
n21111
当n≥2时，bn＝＝－， 2<
（n＋1）n（n＋1）nn＋1
4
1?334?11??11?17?1
所以Tn＝＋?－?＋?－?＋…＋?－＝－<. ?25?23??34??nn＋1?50n＋110
[能力提升]
1．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4>0 C．a1d>0，dS4<0
2
B．a1d<0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0
2
解析：选B.因为 a3，a4，a8成等比数列，所以a4＝a3a8，所以(a1＋3d)＝(a1＋2d)(a1
522
＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d，即a1d＝－d.因为 d≠0，所以a1d＜0.因为 Sn＝na1＋
3
n（n－1）2
d，所以S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.
2
3
?1?m2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列??的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对
15?an?
任意的n∈N恒成立，则正整数m的最小值为( )
A．3 C．5
解析：选C.在等差数列{an}中，因为a2＝5，a6＝21，
??a1＋d＝5，
所以?解得a1＝1，d＝4，
?a1＋5d＝21，?
*
B．4 D．6
1所以＝
an11
＝. 1＋4（n－1）4n－3
因为(S2n＋1－Sn)－(S2n＋3－Sn＋1) ＝?＝
?1＋1＋…＋1?－?1＋1＋…＋1?
?a2n＋1?a2n＋3??an＋1an＋2??an＋2an＋3?
1
an＋1a2n＋2
－1
－111
＝－－ a2n＋34n＋18n＋58n＋9
1
＝?
?1－1?＋?1－1?>0，所以数列{S2n＋1－Sn}(n∈N*)是递减数列，数列
????8n＋28n＋5??8n＋28n＋9?
111414m14
＋＝，所以≤，m≥.又m是正整数，所以594545153
{S2n＋1－Sn}(n∈N*)的最大项为S3－S1＝
m的最小值是5.
3．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6
＋15＝0，则d的取值范围是________．
5×4?6×5?d?·(6a1＋解析：由S5S6＋15＝0，得?5a1＋d)＋15＝0. 2?2?
5
（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第4讲数列求和练习（含解析）
