第4讲 数列求和
[基础达标]
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)·(3n-2),则a1+a2+…+a12=( ) A.18 C.-18
B.15 D.-15
n解析:选A.记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+
a2+…+a11+a12
=(-b1)+b2+…+(-b11)+b12=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b12-b11)=6×3=18.
?1?
2.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列??的前
?an?
5项和为( )
15
A.或5
831C. 16
31
B.或5 1615D.
8
3
6
9(1-q)1-q解析:选C.设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1,且=,解得q=2,
1-q1-q?1?131
所以数列??是以1为首项,为公比的等比数列,由求和公式可得S5=.
216?an?
3.数列{an}的通项公式是an=A.120 C.11
解析:选A.an=
1
1
n+n+1
,若前n项和为10,则项数n为( )
B.99 D.121
n+1-n==n+1-n,所以a1
n+n+1(n+1+n)(n+1-n)
+a2+…+an=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)=n+1-1=10.即n+1=11,所以n+1=121,n=120.
4.设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a8=32,则S11的最小值为( ) A.222 C.22
B.442 D.44
解析:选B.因为数列{an}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2a4a8=82,S11
1
(a1+a11)×111111==(a4+a8)≥×82=442,故S11的最小值为442,当且仅当a4=
222
a8=42时取等号.
121
5.设等比数列{an}的各项均为正数,且a1=,a4=4a2a8,若=log2a1+log2a2+…+
2bnlog2an,则数列{bn}的前10项和为( )
20
A.- 119C.- 5
2
20B. 119D. 5
32
7
解析:选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a4=4a2a8,所以(a1q)=4a1q·a1q,即1?n111?-n-n4q=1,所以q=或q=-(舍),所以an=??=2,所以log2an=log22=-n,所以=
22bn?2?
2
-(1+2+3+…+n)=-
n(1+n)
2
,所以bn=-1?2?1
=-2?-?,
n(1+n)?nn+1?
所以数列{bn}的前10项和为
??1??11??11??-2??1-?+?-?+…+?-??=
??2??23??1011??
1?20?-2?1-?=-. 11?11?
6.(2019·杭州八校联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(an,an-1)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A.3-1 1+3
C. 2
2
2
2
2
2
2
n1-(-3)B.
23n+nD.
2
2
nn解析:选A.由点(an,an-1)在直线x-9y=0上,得an-9an-1=0,即(an+3an-1)(an-3an-1
)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即an=an-1
a1(1-qn)
3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn==
1-q2×(3-1)n=3-1,故选A.
3-1
7.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18
=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值是________.
解析:由a1>0,a10·a11<0可知d<0,a10>0,a11<0, 所以T18=a1+…+a10-a11-…-a18 =S10-(S18-S10)=60.
2
n答案:60
1x?1??2??n-1?,*
8.设函数f(x)=+log2,定义Sn=f??+f??+…+f?其中n∈N,且n≥2,?21-x?n??n??n?则Sn=________.
1x11-x解析:因为f(x)+f(1-x)=+log2++log2=1+log21=1,
21-x2x??1??n-1??+[f?2?+f?n-2?]+…+?f?n-1?+f?1??=n-1.
所以2Sn=?f??+f?????????????
??n?
2 ?n???n??n???n??n??
所以Sn=答案:
n-1
.
n-1
2
?
9.数列?
?199
?的前n项和为,则n的值为________.
100?n(n+1)?
解析:由题意得
11111111111
+++…+=-+-+-+…+-1×22×33×4n×(n+1)122334n11n99
=1-==.所以n=99. n+1n+1n+1100
答案:99
12
10.(2019·温州中学高三模考)已知数列{an}满足:a1=,an+1=an+an,用[x]表示不
2超过x的最大整数,则?
?1+1+…+1?的值等于________.
a2 017+1??a1+1a2+1?
2
2
2
解析:因为an+1=an+an,故an+1-an=an>0,即数列{an}是递增数列,由an+1=an+an可得an+1=an(an+1),所以
所以1<1.
答案:1
11.(2019·金华十校联考)设数列{an}的各项均为正数,且a1,2,a2,2,…,an,2,…成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sk≥30(2+1),求正整数k的最小值. 22
解:(1)设等比数列的公比为q,则q=2=2,
2
2
4
2
4
2n11111=-,从而=-, an+1anan+1an+1anan+1
1
111111?1+1+…+1?=
++…+=-<=2,故?a2 017+1?a1+1a2+1a2 017+1a1a2 018a1?a1+1a2+1?
k又由题意q>0,故q=2, 22n-1
从而an==2,
2nq 3
即数列{an}的通项公式为an=2
2n-1
.
2
(2)由(1)知a1=2,数列{an}是以2为公比的等比数列, 2[1-(2)]22n故Sn==(2-1). 2
1-23
22k2kkkkk因此不等式Sk≥30(2+1)可化为(2-1)≥30(2+1),即(2-1)(2+1)≥30(2+
331),
因为2+1>0, 所以2≥46, 即k≥log246, 又5<log246<6,
所以正整数k的最小值为6.
3
12.(2019·温州市普通高中模考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,2Sn=(n+1)an2+1(n≥2).
(1)求{an}的通项公式;
17**
(2)设bn=(n∈N). 2(n∈N),数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<(an+1)10解:(1)当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2. 当n=3时,2S3=4a3+1, 解得a3=3.
当n≥3时,2Sn=(n+1)an+1,2Sn-1=nan-1+1, 以上两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1, 所以=所以=
kk2
nanan-1
,
nn-1
anan-1a2
=…==1,
nn-12
3??,n=1所以an=?2.
??n,n≥2
4
??25,n=11
(2)证明:b==,
(a+1)?1
??(n+1),n≥2
n2
n21111
当n≥2时,bn==-, 2<
(n+1)n(n+1)nn+1
4
1?334?11??11?17?1
所以Tn=+?-?+?-?+…+?-=-<. ?25?23??34??nn+1?50n+110
[能力提升]
1.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0 C.a1d>0,dS4<0
2
B.a1d<0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
2
解析:选B.因为 a3,a4,a8成等比数列,所以a4=a3a8,所以(a1+3d)=(a1+2d)(a1
522
+7d),展开整理,得-3a1d=5d,即a1d=-d.因为 d≠0,所以a1d<0.因为 Sn=na1+
3
n(n-1)2
d,所以S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-d2<0.
2
3
?1?m2.在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列??的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤对
15?an?
任意的n∈N恒成立,则正整数m的最小值为( )
A.3 C.5
解析:选C.在等差数列{an}中,因为a2=5,a6=21,
??a1+d=5,
所以?解得a1=1,d=4,
?a1+5d=21,?
*
B.4 D.6
1所以=
an11
=. 1+4(n-1)4n-3
因为(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1) =?=
?1+1+…+1?-?1+1+…+1?
?a2n+1?a2n+3??an+1an+2??an+2an+3?
1
an+1a2n+2
-1
-111
=-- a2n+34n+18n+58n+9
1
=?
?1-1?+?1-1?>0,所以数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)是递减数列,数列
????8n+28n+5??8n+28n+9?
111414m14
+=,所以≤,m≥.又m是正整数,所以594545153
{S2n+1-Sn}(n∈N*)的最大项为S3-S1=
m的最小值是5.
3.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6
+15=0,则d的取值范围是________.
5×4?6×5?d?·(6a1+解析:由S5S6+15=0,得?5a1+d)+15=0. 2?2?
5