2020中考数学一轮新优化复习 第一部分 第六章 圆 第25讲 与圆有关的位置关系真题精选

2019年

第一部分 第六章 第25讲

命题点1 与圆有关的位置关系(2017年百色考，2016年梧州考)

1．(2016·梧州6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( C ) A．相离 C．相交

B．相切 D．无法确定

2．(2017·百色11题3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )

A．0≤b＜22 C．－23

B．－22≤b≤22 D．－22＜b＜22

命题点2 切线的性质与判定(2018年9考，2017年8考，2016年10考)

3．(2016·河池12题3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0,2)，B(0,8)，则圆心P的坐标是( D )

A．(5,3) C．(3,5)

B．(5,4) D．(4,5)

4．(2018·百色25题10分)已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：△ABM∽△MCD； (2)若AD＝8，AB＝5，求ME的长． (1)证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠AMD＝90°. ∵∠BMC＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°. ∵∠ABM＝∠MCD＝90°， ∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3， ∴△ABM∽△MCD. (2)解：如答图，连接OM.

2019年

∵BC是⊙O的切线，∴OM⊥BC.又∵AB⊥BC， ∴sin∠E＝＝，∴∵AD＝8，AB＝5， ∴

54

＝，∴OE＝16， 4＋OEOE2

2

2

2

ABOMAEOEOM.

AO＋OEOE＝

AB∴ME＝OE－OM＝16－4＝415.

5．(2018·玉林23题9分)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

1

(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

2(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵∠BCE＝∠B， ∴EC＝EB，设EC＝EB＝x， 在Rt△ABC中，∵tan∠B＝

2

2

AC1

＝，AB＝8，∴AC＝4. AB2

2

在Rt△AEC中，∵EC＝AE＋AC， ∴x＝(8－x)＋4，解得x＝5，∴CE＝5.

6．(2018·河池25题10分)如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE.

2

2

2

(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB＝4，BD＝3，求CD的长． (1)证明：连接OC，

∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°. 又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO. ∵∠A＝∠CDE，∴∠ACO＝∠CDE， ∴∠DCE＋∠ACO＝90°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.

2019年

∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)解：由(1)可得OC⊥CD，∵AB＝4，BD＝3， 1

∴OC＝OB＝AB＝2，OD＝OB＋BD＝5，

2在Rt△OCD中，根据勾股定理得，

CD＝OD2－OC2＝52－22＝21.

7．(2018·贵港24题8分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接BD.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

3

(2)若AB＝10，cos∠BAC＝，求BD的长及⊙O的半径．

5

(1)证明：如答图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC，OC，则∠BCE＝90°，∴∠OCE＋∠OCB＝90°. ∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A＝∠D. ∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE. ∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D.

∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OBC＋∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°， ∴BD是⊙O的切线．

第7题答图

EC3

(2)解：如答图2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝＝，

EB5

∴设EC＝3x，EB＝5x，则BC＝4x， 5

∵AB＝BC＝10＝4x，x＝，

22525

∴EB＝5x＝，∴⊙O的半径为.

24过C作CG⊥BD于G， ∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG，

DG3

在Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝＝，

CD5

∴

DG3

＝，∴DG＝6，∴BD＝12. 105

2019年

8．(2018·贺州25题10分)如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积． (1)证明：∵OA＝OB，DB＝DE， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE. ∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，

∴∠A＋∠DEB＝90°，∴∠OBA＋∠DBE＝90°， ∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD.

∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．

(2)解：如答图，过点D作DF⊥AB于点F，连接OE.

∵点E是AB的中点，AB＝12， ∴AE＝EB＝6，OE⊥AB. 又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5， ∴EF＝BF＝3，

∴DF＝DE－EF＝5－3＝4. ∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF.

∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°， ∴△AEO∽△DFE，∴ ＝即

2222EOAE，

FEDFEO6

9

＝，解得EO＝， 342

119

∴S△AOB＝AB·EO＝×12×＝27.

222

9．(2017·河池25题10分)如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，

CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.

2019年

(1)求证：∠FEB＝∠ECF； (2)若BC＝6，DE＝4，求EF的长． (1)证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D， ∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC， ∴∠BCO＋∠COB＝90°.

∵EF⊥OG，∴∠FEB＋∠FOE＝90°，而∠COB＝∠FOE，∴∠FEB＝∠ECF. (2)解：连接OD，如答图．

∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD＝CB＝6，OD⊥CE，

CE＝CD＋DE＝6＋4＝10.

在Rt△BCE中，BE＝10－6＝8.

设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8－r. 在Rt△ODE中，r＋4＝(8－r)，解得r＝3， ∴OE＝8－3＝5，

∴在Rt△OBC中，OC＝6＋3＝35. ∵∠COB＝∠FOE，∴△OEF∽△OCB， ∴

2

2

2

2

2

2

2

EFOEEF5＝，即＝，∴EF＝25. BCOC635

︵︵10．(2017·百色25题10分)已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若EF ＝DF ，如图1.

第10题图

(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；

(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长． 解：(1)△ABC为等腰三角形．