2019年
第一部分 第六章 第25讲
命题点1 与圆有关的位置关系(2017年百色考，2016年梧州考)
1．(2016·梧州6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( C ) A．相离 C．相交
B．相切 D．无法确定
2．(2017·百色11题3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )
A．0≤b＜22 C．－23 B．－22≤b≤22 D．－22＜b＜22 命题点2 切线的性质与判定(2018年9考，2017年8考，2016年10考) 3．(2016·河池12题3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0,2)，B(0,8)，则圆心P的坐标是( D ) A．(5,3) C．(3,5) B．(5,4) D．(4,5) 4．(2018·百色25题10分)已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E. (1)求证：△ABM∽△MCD； (2)若AD＝8，AB＝5，求ME的长． (1)证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠AMD＝90°. ∵∠BMC＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°. ∵∠ABM＝∠MCD＝90°， ∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3， ∴△ABM∽△MCD. (2)解：如答图，连接OM. 2019年 ∵BC是⊙O的切线，∴OM⊥BC.又∵AB⊥BC， ∴sin∠E＝＝，∴∵AD＝8，AB＝5， ∴ 54 ＝，∴OE＝16， 4＋OEOE2 2 2 2 ABOMAEOEOM. AO＋OEOE＝ AB∴ME＝OE－OM＝16－4＝415. 5．(2018·玉林23题9分)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC是⊙O的切线； 1 (2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长． 2(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵∠BCE＝∠B， ∴EC＝EB，设EC＝EB＝x， 在Rt△ABC中，∵tan∠B＝ 2 2 AC1 ＝，AB＝8，∴AC＝4. AB2 2 在Rt△AEC中，∵EC＝AE＋AC， ∴x＝(8－x)＋4，解得x＝5，∴CE＝5. 6．(2018·河池25题10分)如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE. 2 2 2 (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB＝4，BD＝3，求CD的长． (1)证明：连接OC， ∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°. 又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO. ∵∠A＝∠CDE，∴∠ACO＝∠CDE， ∴∠DCE＋∠ACO＝90°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD. 2019年 ∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)解：由(1)可得OC⊥CD，∵AB＝4，BD＝3， 1 ∴OC＝OB＝AB＝2，OD＝OB＋BD＝5， 2在Rt△OCD中，根据勾股定理得， CD＝OD2－OC2＝52－22＝21. 7．(2018·贵港24题8分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接BD. (1)求证：BD是⊙O的切线； 3 (2)若AB＝10，cos∠BAC＝，求BD的长及⊙O的半径． 5 (1)证明：如答图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC，OC，则∠BCE＝90°，∴∠OCE＋∠OCB＝90°. ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A＝∠D. ∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE. ∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D. ∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBC＋∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°， ∴BD是⊙O的切线． 第7题答图 EC3 (2)解：如答图2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝＝， EB5 ∴设EC＝3x，EB＝5x，则BC＝4x， 5 ∵AB＝BC＝10＝4x，x＝， 22525 ∴EB＝5x＝，∴⊙O的半径为. 24过C作CG⊥BD于G， ∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG， DG3 在Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝＝， CD5 ∴ DG3 ＝，∴DG＝6，∴BD＝12. 105 2019年 8．(2018·贺州25题10分)如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE. (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积． (1)证明：∵OA＝OB，DB＝DE， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE. ∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC， ∴∠A＋∠DEB＝90°，∴∠OBA＋∠DBE＝90°， ∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD. ∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线． (2)解：如答图，过点D作DF⊥AB于点F，连接OE. ∵点E是AB的中点，AB＝12， ∴AE＝EB＝6，OE⊥AB. 又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5， ∴EF＝BF＝3， ∴DF＝DE－EF＝5－3＝4. ∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF. ∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°， ∴△AEO∽△DFE，∴ ＝即 2222EOAE， FEDFEO6 9 ＝，解得EO＝， 342 119 ∴S△AOB＝AB·EO＝×12×＝27. 222 9．(2017·河池25题10分)如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E， CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F. 2019年 (1)求证：∠FEB＝∠ECF； (2)若BC＝6，DE＝4，求EF的长． (1)证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D， ∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC， ∴∠BCO＋∠COB＝90°. ∵EF⊥OG，∴∠FEB＋∠FOE＝90°，而∠COB＝∠FOE，∴∠FEB＝∠ECF. (2)解：连接OD，如答图． ∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD＝CB＝6，OD⊥CE， CE＝CD＋DE＝6＋4＝10. 在Rt△BCE中，BE＝10－6＝8. 设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8－r. 在Rt△ODE中，r＋4＝(8－r)，解得r＝3， ∴OE＝8－3＝5， ∴在Rt△OBC中，OC＝6＋3＝35. ∵∠COB＝∠FOE，∴△OEF∽△OCB， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 EFOEEF5＝，即＝，∴EF＝25. BCOC635 ︵︵10．(2017·百色25题10分)已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若EF ＝DF ，如图1. 第10题图 (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长． 解：(1)△ABC为等腰三角形．
2020中考数学一轮新优化复习 第一部分 第六章 圆 第25讲 与圆有关的位置关系真题精选
