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高等数学 ( Ⅰ) 练习 系
第二章 一元函数微分学
专业 习题一
班 姓名 导数概念
学号
一．填空题
1．若 f ( x0 ) 存在，则 lim
x 0
f (x0 x) f ( x0 )
2．若 f ( x0 ) 存在， lim
h 0
x f ( x0 h
x
f (x0 2x) s t
=
f (x0 )
,
f (x0 h) h) 2 f (x0 )
=
. lim
x 0
f ( x0 3 x)
x
f (x0 ) 3 f ( x0 )
=
.
3．设 f ( x0 )
2 , 则 lim
x 0
1 4
f (x0) )
4．已知物体的运动规律为
t 2 (米 )，则物体在 t
1
y
5．曲线 y
cos x 在 x
3
处的切线方程为
2
2 秒时的瞬时速度为 5m/ s
3 1 2 3
) ( x) ( x y
，法线方程为
2 2 3 3 3
6．用箭头 ? 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，
极限存在 二、选择题 1．设 f ( 0)
?
连续
?
可导。
0 ,且 f (0) 存在，则 lim
f ( x)
x
=
[
B
]
x 0
（ A ） f (x)
( B) f
(0)
(C) f (0)
(D)
1 2
=
f ( 0)
2. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则
lim
x 0
f ( x a x)
f ( x b x)
x
[
B ]
（ A ） f (x)
( B) (a
b) f ( x)
(C) ( a
b) f (x)
(D) a b
f ( x)
2
3. 函数在点 x0 处连续是在该点 （ A ）充分但不是必要 4．设曲线 y （ A ）(0,1)
x0 处可导的条件
[ B ]
（ B）必要但不是充分 （ C）充分必要 （D ）即非充分也非必要
x2
x
( B)
2 在点 M 处的切线斜率为
(1, 0)
3，则点 M 的坐标为
[
B
]
(C) ( 0,0) (D) (1,1)
[
5．设函数 f ( x) （ A）不连续。
| sin x | ，则 f ( x) 在 x
0 处
B ]
（ B）连续，但不可导。
19
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(C) 可导，但不连续。
（ D）可导，且导数也连续。
三、设函数 f (x)
x 2
x 1 x 1
为了使函数 f ( x) 在 x 1处连续且可导， a ，b 应取什么值。
ax b
解：因为 f ( x)在 x f (1 )
1处连续，所以 f (1 ) f (1 ) f (1), f (1 ) lim( ax b) a
x
1
f (1),
lim x
x 1
2
1
b, 所以 a b 1
因为 f ( x)在 x 1处可导 , 所以 f (1) f (1) lim 2 x 2, f (1) lim a a,
x 1
f (1)
x 1
所以 a
2, b 1
四、如果 f (x) 为偶函数，且 f (0) 存在，证明 f (0) =0 。
f ( x), 又因为
x) f (0)
x
证 :因为 f ( x)为偶函数 , 所以 f ( x) f (0)
lim f ( x)
x 0
f (0) x
lim f (
x 0
lim f ( x) f (0)
x x 0 (0) =0.
f (0)
而因为 f (0) 存在 ,故 f (0)
f (0) f (0) ,所以 f
五、 证明：双曲线 xy
a 上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
2
证 : 设双曲线上的任意一点为
( x0 , y0 ) ,则 x0 y0
a ,又因 y xy 0 , x0 )
2
y
所以双曲线在该点的切线方程为
y
0
(x
y0 ,
x0
故它与两坐标轴的交点分别为
(0, 2y 0 ) 和 (2 x0 ,0) ,
2x0 y0 2a 为定值 .
1所以三角形的面积 S
(2 x0 ) (2 y0 )
2
2
20
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高等数学 ( Ⅰ ) 练习
第二章
班级
一元函数微分学
学号
系
专业
习题二
姓名
求导法则（一）
一、填空题 1 ． y 2． y 3 ． r 4. w
(2 secx) sin x , cos(2e ) ， y =
y = tan x
x
x
22cos x ; 1
ye sin x ,
y = cosxe
sin x
. .
x
2e sin(2e ) ;
y = sin 2x ， y
2x cos2x
2x =
sin 2x
x log 2 x ln 2, ln(sect
2r
1
log 2 x
ln 2 =
x
ln tan ，
2
y
(
= csc
;
2x 1 1 ( xx .
21 x
tan t) ,
x
1 x
2
w = sect
.
arccos(x 2 1 x
2
x) ， y
) =
2
x)
2
5. ( 1 x )
;
C
1 1
6. [ln( x
1 x )] =
2
x
2
;
(
ln( x
1 x ) C
2) =
1 1 x
2.
二、选择题 1．已知 y=
sin x x x
sin x
1 1
x2
，则 y =
[ B
]
（ A ） xsin x
cos x
(B)
x cos x sin x
2x
(C) sin x
x
2x sin x
(D) x cos x
3
x sin x
2
2. 已知 y=
1 cos x
，则 y =
[ C
]
（ A ） cos x
(B)
2cos x
1 cos x 2cos x 1
(C)
1
1 cos x
(D) 2cos x 1
1 cos x
[ A
x
x
3. 已知 y
x
sece ，则 y =
x
x
]
（ A ） e sece tan e4.
已知 y
(B)
2
sece tan exx
(C)
tan e
x
(D) e cot e
ln( x
1 x ) ，则 y =
(B)
[ A ]
（ A ）
1
2x 1
1
x
2
(C)
x
21 x
(D)
x
2
1
21
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5.
已知 y
ln cot x ，则 y | =
x
[D ]
4
（A ）1 6. 已知
y
，则 y = 1
1 x 2
x
（ B）2
（ C） 1/ 2
(D)2
[ B ]
（ A ）
( x 1)
2
(B)
2
( x 1)
2
(C)
2x
(x 1)
2
(D)
2x
(x 1)
2
三、计算下列函数的导数： (1) y
ln(
3
x )
2
3
ln x
3
2
(2) y tan(ln x)
y
1
3
1 x
3
3
1 (ln x) 1 3
x
y
sec (ln x) 211
sec (ln x)
2
1
x 3
3x
(1 (ln x) )
2
x x
sin 2
1
(3) u
e
v
3
(4 ) y sec (ln x)
u e
sin 2 1
v
( 2sin
sin 2 v
11 v
cos (
1 v
1 v
2 ))
y
3sec (ln x)sec(ln x)
2
tan(ln x)
1
x
1
2
sin
2
e
3 3
sec (ln x) tan(ln x) x
v v
(5) y ln( x
1 x )
2
(6) y arctan
1 x
1 x
y
x
1 ( x
1 x 2
1 x )
2
y
1
(
1
1 x 1 x
)
2
(1 x) (1 x)
2
(1 x)
1 21 x
1
x
1 x1
(1
2
x 1 x
2
(1
2x )
21 x 2 x 1
x
2
)
四、设 f ( x) 可导，求下列函数 y 的导数
dy
dx
22
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（ 1） y
f (sin x) sin[ f ( x)]
cos( f ( x)) f (x) f ( x)cos( f ( x))
(2) y
2
f (sin x)
2f (cos x)
2
2
y f (sin x)cos x cos x f (sin x)
y
f (sin x)2sin x cos x sin 2x( f (sin x)
2
2
f (cos x)(2cos x ( sin x))
f (cos x))
高等数学 ( Ⅰ ) 练习 系
第二章
班级
一元函数微分学
学号
专业 姓名
习题三 求导法则（二）
x
一、填空题：
x
1． y 2． y
e cos3x ， y
arccos
2
e ( cos3 x 3sin 3x)
2 y ；
2
1
ln x
x 1 ln x 1 arctan x 2 x(1 x)
2
1 ln x ， y
2
1
1
x x
， y
2x
， y
3． y
arcsin 2sin x 12 sin x
x
x
2
1
；
y
earx tan x ， y
e
3 cos x
| cos x | (2 sin x)
，则
dy
x 1
4．设 y arctan e
ln
2
e
e
2 2
1
e2 x
1 dx
x
5．设 y ( x e ) ，则 y |x 0
23
1 3
1 e
e 1
6．设 f (x) 有连续的导数，
f (0)
0 ，且 f (0)
b ，若函数 F (x)
f ( x) a sin x , x
x A , x
0
0
0处连续，则常
A =
在 x 数
二、选择题： 1．设 y
a
b
f ( x) ，则 y
[ D
]
（ A ） f ( x) （ B ） f ( x) （ C） f ( x) （D ） f ( x)
2．设周期函数 f ( x) 在 (
,
) 可导，周期为 4, 又 lim
f (1)
x 0
f (1 x)
2x
1, 则曲线
y f (x) 在点 ( 5, f (5)) 处的切线的斜率为
（A）
[ D
]
1
（B） 0
（C） 1
（D） 2
2
3. 已知
y
1 arctan 2x ，则
2
2 1 x
(B) 1
y =
[
C
]
（ A ） 1 1
2x
x
2
(C)
1
(D)
x
2
1
x 2
23
----- 1
一元函数微分学练习题
