专题20 选择题解题方法与技巧
数学选择题，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，同学们能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．数学选择题的求解，一般有两种思想，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适合. 下面结合典型试题，分别介绍几种常用方法．
解题方法一 定义法
定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
π
例1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝
4( )
A．－6或1 B．－1或6 C．6
D．1
m1＋
3πm422
α＋?＝＝，∴＝【解析】由题意得，tan α＝，tan?，∴m＝－6或1. ?4?2mm3mm
1－
3【答案】A
【感悟提升】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|·|PF2|的值．
【变式探究】已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为 ( ) A．10 B．4 C．15 D．5
【解析】由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
【答案】D
解题技巧二 数形结合法
数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
―→―→例2、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB―→
＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 C.5
B．22 D．2
【答案】A
【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为4圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
5
22
＝，所以
512＋22
因为P在圆C上，
2525?所以P?1＋cos θ，2＋sin θ. 55??
―→―→―→―→―→
又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
?1＋255cos θ＝λ，所以?
252＋?5sin θ＝2μ，
255
λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ
55
π
＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3. 2
??sin πx，0≤x≤1，
【变式探究】已知函数f(x)＝?若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c
?log2 018x，x>1.?
的取值范围是 ( )
A．(1,2 017) B．(1,2 018) C．(2,2 019) D．[2,2 019]
【解析】作出函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，不妨设a 与(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2 018x＝1，解得x＝2 018，∴若满足 2f(a)＝f(b)＝f(c)(a，b，c互不相等)，由a 【答案】C 【反思领悟】数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中结合y＝f(x)的图象求范围． 解题技巧三 排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、 计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法． 例3、设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有( ) A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 【解析】选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．排除A，B，C，故选D. 【答案】D 【反思领悟】应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用函数f(x)为偶函数排除干扰项，然后取一特殊值验证函数值的大小． ―→ ―→ ―→ ―→ 【变式探究】已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB＝a，AC＝b，过点E的直线分11别交AB，AC于P，Q两点，且AP＝ma，AQ＝nb，则＋＝ mn A．3 C．5 B．4 1D． 3 ( ) 【解析】由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值． ―→―→―→22211 如图，PQ∥BC，则AP＝AB，AQ＝AC，此时m＝n＝，故＋＝3. 333mn ―→ 【答案】A 解题技巧四 估值法 估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜 测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量． 例4、若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin A．a>b>c C．c>a>b B．b>a>c D．b>c>a 2π ，则( ) 5 【解析】由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数2 的性质可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)，因为sin π∈(0,1)， 5所以c＝log2sin 【答案】A 【变式探究】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( ) 16A．π 9C．4π 8 B．π 364 D．π 9 2π <0。综上，a>1>b>0>c，即a>b>c。 5 2316π 【解析】球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D选项符 33合，故选D。 【答案】D 解题技巧五 待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． x2y2 例5、已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝ ab47x的准线上，则双曲线的方程为 x2y2 A.－＝1 2128 x2y2 B.－＝1 2821 ( ) x2y2x2y2 C.－＝1 D.－＝1 3443 b 【解析】由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)， a
2024年高考数学二轮复习精品考点学与练20 选择题解题方法与技巧(考点解读解析版)
