椭 圆
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；（提醒： 设直线时分斜率存在与不存在；
设为y=kx+b与x=my+n的区别）
2.设交点坐标；（提醒
:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单
）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）
“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、
锐角、钝角问题”
“向量的数量积大于、等于、小于0问题”
等；
“等角、角平分、角互补问题”
斜率关系（ 或
）；
“共线问题”
（如：
数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如
：A、O、B三点共线
直线OA与OB斜率相等）；
“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；
6.化简与计算；
7.细节问题不忽略；
判别式是否已经考虑；
抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题
中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值
来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
（1）直线恒过定点问题
1、已知点
是椭圆
上任意一点，
直线
的方程为
，直线
过P点与直线
垂直，点M（-1，0）关于直线
的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
2、已知 椭圆两焦点
、
在
轴上，短轴长为
，离心率为
，
是椭圆在第一象限弧上一点，且
，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB
分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；
3、已知动直线
与椭圆
相交于
、
两点,已知点
， 求证：
为定值.[
4、 在平面直角坐标系
中，已知椭圆
.如图所示，斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于 ，
两点，线段 的中点为
，射线
交椭圆
于点
，交直线 于点
.（Ⅰ）求
的最小值；（Ⅱ）若
?
，求证：直线
过定点；
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
5、已知直线
与
轴交于点
，与椭圆
交于相异两点A、B，且 ，求
的取值范围．
（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定
参数的取值范围.
6、已知点
，
， 若动点
满足
．
（Ⅰ）求动点
的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设过点
的直线 交轨迹
于
，
两点，若
，求直线
的斜率的取值范围.[来源
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点
为椭圆
：
上的
一动点，点
的坐标为 ，求
的取值范围．
8.已知椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上.若右焦点到直线
的距离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点
.
当 时，求
的取值范围.
9.
如图所示，已知圆
为圆上一动点，点
在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线
.
（I）求曲线
的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线 于不同的两[来源:学科网ZXXK]
点
（点
在点
之
间），且满足
， 求
的取值范围.
10、.已知椭圆的中心在坐标原点
，两个焦点分别为 、
，一个顶点为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）对于
轴上的点
，椭圆
上存在点
，使得
，求
的取值范围.
11.已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若过点
(2，0)的直线与椭圆
相交于两点
，设
为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
＜
时，求实数
取值范围．
椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
12、已知椭圆两焦点 、
在
轴上，短轴长为
，离心率为
，
是椭圆在第一象限弧上一点，且
，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、
PB分别交 椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。
（2）利用函数求最值，
13.如图，
轴，点M在DP的延长线上，且
．当点P在圆
上
运动时。 （I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点
的切线
交曲线 C于A，B两点，求△AOB面
积S的最大值和相应的点T的坐标。
14、已知椭圆
.过点
作圆
的切线
交椭圆G于A,B两点.
将|
AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.
选做
1、已知A、B、C是椭圆
上的三点，其中点A的坐标为
，BC过椭圆m的中心，且
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点
的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆
m与y轴负半轴的交点，且 .求实数t的取值范围．
2.已知圆
： 及定点
，点
是圆
上的动点，点
在 上，点
在 上，
且满足
＝2
，
· ＝
．
（1）若
，求点 的轨迹
的方程；
（2）若动圆 和（1）中所求轨迹
相交于不同两点
，是否存在一组正实数
， 使得直线 垂直平分线段
，若存在，求出这组正实数；若不存在，说
明理由．
3、已知椭圆
的中心在坐标原
点，焦点在
轴上，椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
，最小值为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ） 若直线
与椭圆
相交于
，
两点（
不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．
4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
参考答案
1、解：直线
的方程为
，即
设
关于直线
的对称点
的坐标为
则
，解
得
直线
的斜率为
从而直线
的方程为：
即
从而直线 恒过定点
2、解：（1）设椭圆方程为
，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则
，设
则
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
点
在曲线上，则
从而
，得
，则点
的坐标为
。
（2）由（1）知
轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为
，则PB的直线方程为：
由
得
设
则
同理可得
，则
所以直线AB的斜率
为定值。
3、 解: 将
代入
中得
，
，
所以
。
4、 解：（Ⅰ）由题意,
由
:设直线
消y得:
,
设A 、B
,AB的中点E
,则由韦达定理得: [来源:学科网]
=
,即
,
,
所以中点E的坐标为
,
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以 ，即
， 解得
，
所以
=
,当且仅当
时取等号, 即
的最小值为2.
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为
,
所以由
得交点G的纵坐标为
,
又因为
,
,且
?
，所以
,
又由（Ⅰ）知:
,所以解得
,所以直线
的方程为
,
即有
, 令
得,y=0,与实数k无关,
5、 解：（1）当直线斜率不存在时：
（2）当直线斜率存在时：设
与椭圆C交点为
得
（*）
∵
，∴ ，
∴
. 消去
，得
，
整理得
时，上式不成立；
时，
，
∴
，∴
或
把
代入（*）得
或
∴
或
综上m的取值范围为
或
。
6、解：（Ⅰ）设动点
，则
，
，
.
由已知得 ，
化简得
，得
.
所以点
的轨迹 是椭圆
，
的方程为
.
（Ⅱ）由题意知，直线 的斜率必存在，
不妨设过
的直线 的方程
为
，
设
，
两点的坐标分别为，
.
由
消去 得
.
因为
在椭圆内，所以 .
所以
因为
，
所以
. 解得
.
7、 解：
，设Q（x，y）， ，
．
∵
，即
，
而
，∴－18≤6xy≤18．
则
的取值范围是[0，36]． [来源:学*科*网]
的取值范围是[－6，6]．
∴
的取值范围是[－12，0]．
8、解：（1）依题意可设椭圆方程为
，则右焦点
由题设
，解得
，
故所求椭圆的方程为
（2）设
、
、
，
为弦
的中点，由
得
直线与椭圆相交，
①
，从而
，
，又
则：
，即
，②
把②代入①得
，解
，
由②得
，解得
.
综上求得
的取值范围是
.
9、解：（Ⅰ）
∴NP为AM
的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），
A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为
焦距2c=2.
∴曲线E的方程为
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设
，
又当直线GH斜率不存在，方程为
10、解：（1）由题意可得，
， ，∴
．
∴所求的椭圆的标准方程为：
．
（2）设
，则
． ①
且
，
，
由
可得
，即
∴
． ②
由①、②消去
整理得
． ∵
∴
．
∵
， ∴
．
∴ 的取值范围
为
.
11、 解：（Ⅰ）由题意知
， 所以
．
即
． 又因为
，所以
，
．
故椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.
设 ：
，
，
，
，
由
得
.
，
.
，
.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∵
，∴ ，
，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴
.
∵
＜
，∴
，∴
∴
，
∴
，∴
.
∴
，∵ ，∴
，
∴
或
，
∴实数取值范围为
.
12、解、设椭圆方程为
，由题意可得
，
故椭圆方程为
设AB的直线方程：.
由
，得
，
由
，得
P到AB的距离为
，
则
。[来源:Zxxk.Com]
当且仅当
取等号， ∴
三角形PAB面积的最大值为 。[来源:
13、 解:设点
的坐标为 ，点
的坐标为 ，
则 ，
，所以
，
， ①
因为
在圆
上，所以
②
将①代入②，得点
的轨迹方程C的方程为
．
（Ⅱ）由题意知，
．
当
时，切线 的方程为
，点A、B的坐标分别为
此时
，当
时，同理可得
；
当 时，设切线
的方程为
由
得
③
设A、B两点的坐标分别为
，则由③得：
．
又由l与圆
相切，得
即
所以
因为
且当
时，
|AB|=2，所以|AB|的最大值为2[来源:学.科.网Z.X.X.K]
依题意，圆心 到直线AB的距离为圆
的半径，
所以
面积
，
当且仅当 时，
面积S的最大值为1，
相应的
的坐标为
或者
．
14、 解：由题意知，.
当 时，切线
的方程为
，点A,B的坐标分别为
，
此时
；
当
时，同理可得
；
当 时，设切线
的方程为
.
由
得
.
设A,B两点的坐标分别为 .
又由
与圆
相切，
得
，即
.
所以
.
由于当
时，
，
，
当且当
时，
.所以|AB|的最大值为2.
选做
1、 解（1）椭圆m：
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）[来源:Z+xx+k.Com]
1°当k=0时，显然－2 2°当k≠0时，设 消y得 由△>0 可得 ① 设 则 ∴ 由 ∴ ② ∴t>1 将①代入②得 1 ∴t的范围是（1，4） 综上t∈（－2，4） 2、解：（1） ∴点 为 的中点， 又 ， 或 点与 点重合．∴ 又 ∴点 的轨迹是以 为焦点的椭圆， 且 ，∴ 的轨迹方程是 (2)解：不存在这样一组正实数， 下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线 的斜率存在时，设之为 ， 故直线 的方程为： ，设 ， 中点 ， 则 ，两式相减得： ． 注意到 ，且 ，则 ， ② 又点 在直线 上， ，代入②式得： ． 因为弦 的中点 在⑴所给椭圆 内， 故 ， 这与 矛盾，所以所求这组正实数不存在． 当直线 的斜率不存在时， 直线 的方程为 ， 则此时 ，代入①式得 ， 这与 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． 3、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为 ． [来源:学科网ZXXK] （Ⅱ）设 ， ， 联立 ， 得 ， 又 ， 因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ， ，即 ， ， ， ．[来源:学#科#网Z#X#X#K] 解得： ， ，且均满足 ， 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ． 所以，直线 过定点，定点坐标为 ． 4、解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 （2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距m, 又KOM= 由 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则 由 而 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
椭圆定值定点、范围问题总结
