2019-2020年高中数学 奥赛辅导精品第七讲 三角恒等式和三角不等式
知识、方法、技能
三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于的代数恒等式的证明问题.
要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.
相除 相除 相除
相加减 万S? 能积化和差 2 公C? 2 式 T? 2和差化积
上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.
此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式
1(a?b?c)]，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 2sin?例1：已知sin??Asin(???),|A|?1,求证:tan(???)?. cos??A【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用??(???)??或??(???)??消S?p(p?a)(p?b)(p?c)[其中p?除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手. 【证法1】 ?sin(?????)?Asin(???),
sin(???)cos??cos(???)sin??Asin(???),
sin(???)(cos??A)?sin?cos(???),?|A|?1,?cos??A?0, 从而cos(???)?0,
tan(???)?【证法2】
sin?.cos??Asin??sin??Asin?sin(???)sin? ?sin?cos?sin(???)?sin?cos??sin(???)sin(???)sin?cos?sin(???)?sin[(???)??]sin(???)sin? ?
cos(???)sin??tan(???).?例2：证明：cos7x?7cos5x?21ocs3x?35cosx?64cos7x.
【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、
的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx, 从而有16cos6x?cos23x?6cos3xcosx?9cos2x
331?cos6x9?3(cos4x?cos2x)?(1?cos2x) 22
32cos6x?1?cos6x?6cos4x?6cos2x?9?9cos2x,64cosx?2cos6xcosx?12cos4xcosx?30cos2xcosx?20cosx7
?cos7x?cos5x?6cos5x?6cos3x?15cos3x?15cosx?20cosx
?cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx.11,从而,128cos7??(z?)7，展开即可. zz【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复
数求解. 令z?cos??isin?,则2cos??z?例3：求证：3tan18??tan18?tan12??3tan12??1. 【思路分析】等式左边同时出现、，联想到公式tan(???)?【证明】3tan18??tan18?tan12??3tan12?
tan??tan?.
1?tan?tan??3(tan18??tan12?)?tan18?tan12?
?3?tan(18??12?)(1?tan18?tan12?)?tan18?tan12? ?1???【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证(1?tan1)(1?tan2)?(1?tan43)
等.
例4：已知1?tan??2001,求证:sec2??tan2??2001.
1?tan?1?cos(?2?)1?sin2??2【证明】sec2??tan2????tan(??)
?cos2?4sin(?2?)2?1?tan?1?tan? ?2001.?例5：证 明：4sin?sin(60???)sin(60???)?sin3?. 【证明】
3?4sin?(?sin2?)431?4sin?(cos2??sin2?)44 ?4sin?[(3cos?)2?(1sin?)2]
22?4sin?(sin60?cos??cos60?sin?)(sin60?cos??cos60?sin?)?4sin?sin(60???)sin(60???)【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有cos3??4cos?cos(60???)cos(60???)
tan3??tan??tan(60???)tan(60???). 利用这几个公式可解下例.
例6：求证：①cos6?cos42?cos66?cos78?? ②sin1°sin2°sin3°…sin89°= 【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66°
1 16
cos18?cos42?cos78??4cos54?1cos(3?18?) ?4?4cos541?.16
2019-2020年高中数学 奥赛辅导精品第七讲 三角恒等式和三角不等式
