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2．3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过
程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题． 知识点一 抛物线的定义
思考1 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
思考2 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
梳理 从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有． 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________． 知识点二 抛物线的标准方程
思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？ 思考2 抛物线标准方程的特点？
思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 梳理 抛物线的标准方程有四种类型 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) px＝－ 2px＝ 2py＝－ 2py＝ 2类型一 抛物线标准方程及求解 命题角度1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程 例1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y＝－6x；(2)3x＋5y＝0； (3)y＝4x；(4)y＝ax(a≠0)．
反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
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跟踪训练1 (1)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )
31A. 2C．1
2
2
2
y2
B.
3 2
D.3
(2)若抛物线y＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____________________________________， 准线方程为____________． 命题角度2 求解抛物线标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2,3)； 5(4)焦点到准线的距离为. 2
反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x＝ay(a≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 类型二 抛物线定义的应用
1?1?例3 已知点A(3,2)，点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大. 2?2?(1)求点M的轨迹方程；
(2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．
(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．
跟踪训练3 已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.
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B．3 C.5 D. 22
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2020版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_3_1抛物线及其标准方程教学案新人教B版选修1
