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试问两种检测方法是否有显著性差异？（??0.05）
解：设X、Y分别表示用A，B两种方法测得的纸张亮度，FX(x)、FY(x)为它们的分布函数，则统计假设为
H0:FX(x)?FY(x),H1:FX(x)?FY(x)
样本混合后按由小到大顺序排例的结果以及秩见下表。
秩 数据
1
2
3 7.1
4 7.5
5 7.6
6 7.9
7 8.2
8.5 8.3
10 8.6
11 8.7
12 8.9
13.5 9.1
15 9.2
16 9.5
6.1 6.9
由于m?7?n?9，所以选择Y的样本秩和T作为检验统计量。在??0.05时，
拒绝域为?T?43???T?76?
T的样本值为2+4+6+7+8.5+10+13.5=51，不在拒绝域X 0内，故接受原假设，即认为两个总体分布不存在明显差异。
B组
1.设X1,...,X17为总体X～N(0,?2)样本，统计假设：H0：?2?9，H1：?2?9的拒绝域为 ?S2?4.479?。 （1）求犯第Ⅰ类错误的概率?；
(2)上述统计假设中H1：?2?3.698时，求犯第Ⅱ类错误的概率?。 解：（1）??P(S?4.479??9)?P(22(n?1)S2?2(n?1)S2?16?4.4792??9)?0.05 916?4.4792??3.698)?0.25
3.698(2) ??P(S?4.479??3.698)?P(22?2?2.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h。现从一批该种元件
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中抽取25只,测得寿命均值1950h,标准差s?148h。设元件寿命服从正态分布，试在显著水平??0.05下, 确定这批元件是否合格。 解：设假设检验为：
H0:??2000； H1:??2000
检验统计量 T?X?2000S/n
拒绝域为{t??1.7109 }
T的样本值t??1.689??1.7109，接受H0，即可以认为元件的寿命不低于2000h。
另一方面，设假设检验：
H0:?2?1302；H1:?2?1302
检验统计量为x?2(n?1)S2?2
2(n?1)}={?2?36.415} 拒绝域为{?2???(25?1)1482样本值???31.2?36.415，接受H0，即?不超过130h。 213020 由以上两种假设检验结果说明在水平??0.05下，认为这批元件是合格的。 3.某企业生产一种电器材料，要检验原来使用的材料与一种新研制材料的疲劳寿命（单位：小时）有无显著差异，各取若干样品做疲劳实验，所得数据如下：
原材料 新材料
40 60
110 150
150 220
65 310
90 380
210 350
270 250
- 450
- 110
- 175
一般认为，材料的寿命服从对数正态分布，并可以假定原材料疲劳寿命?的对数X?lg? 与新材料疲劳寿命?的对数Y?lg? 有相同的方差。
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解：由题意知，X?lg?～N(?1,?2)，Y?lg?～N(?2,?2)，问题归结为检验：
H0:?1??2,H1:?1??2
当H0成立时，X?lg?、Y?lg?有相同的分布，从而?、?有相同的分布，原材料与新材料的疲劳寿命无显著差异。将实验数据取对数,得到X?lg?、
Y?lg?的样本数据：
X?lg? 1.602 2.041 2.176 Y?lg? 1.778 2.176 2.342
1.813 2.491
1.954 2.589
2.322 2.544
2.431 2.398
2.653
2.041
2.243
22?0.0835，sY?0.0741。 由此计算得：x?2.0484，y?2.3255，sX选择T检验法，检验统计量为：T?S?X?Y11?nm
当??0.05时，拒绝域为{t?t1??(n?m?2)?2.132}
22s??6?0.0835?9?0.0741≈0.0686
15检验统计量的样本值为-2.148，在拒绝域里，拒绝H0，接受H1，即认为原材料与新材料的疲劳寿命有显著的差异。
4.从某高校99级本科生中随机抽取了60名学生，其英语结业考试成绩如下表。试问99级本科生的英语结业成绩是否符合正态分布？（??0.10）
93 88 75 76
75 86 66 90
83 83 85 89
93 96 70 71
91 81 94 66
85 79 84 86
84 97 83 73
82 78 82 80
77 75 80 94
76 67 78 79
77 69 74 78
95 68 73 77
94 83 76 63
89 84 70 53
91 81 86 55
解：设X表示99级任意一位本科生的英语结业成绩，分布函数为F(x)，统计假设：
H0:F(x)??(2mx???),H1:F(x)??(x???)
?i)2(?i?np???(1)选择检验统计量?
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(2)将X的取值划分为若干区间,得到m=4个事件：A1??X?70?，
A2??70?X?80?，A3??80?X?90?，A4??90?X?。
?,??2。通过计(3)在H0成立的条件下，计算参数?、?2的极大似然估计值?*??x?80,??2?m2?9.62。 算得?(4)在H0成立的条件下，Ai(i?1,2,3,4)的概率理论估计值为：
?1??((70?80)9.6)??(?1.04)?0.1492p?2??((80?80)/9.6)??(?1.04)??(0)??(?1.04)?0.3508 p?3??((90?80)/9.6)??(0)?0.3508 p?4?1??((90?80)/9.6)?0.1492 p2(5)拒绝域为{?2??0} .90(1)?2.71?2样本值为0.622，落在接受域内，因而接受H0，所以，99级本(6)计算?科生的英语
结业成绩符合正态分布。
5. 某种动物按体格属性分为三类，假设随机检测这种动物109只，三种体格类型的数目是：10只，53只，46只。按照某种遗传模型各种体格类型的比列之比为：p2:2p(1?p):(1?p)2。问这种动物体格类型分布与遗传模型是否相符（??0.05）？
解：令p1?p2,p2?2p(1?p),p3?(1?p)2，统计假设为:
H0：三种类型比列之比为：p1:p2:p3
设观察到的三类数量分别为：n1, n2, n3(n1+n2+n3=109), 采用极大似然估计法估计p，似然函数为：
L(p)?(p2)n1[2p(1?p)]n2[(1?p)2]n3,
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由
2n3n?lnL(p)2n1n2???2??0, ?ppp1?p1?p?得p的极大似然估计为:p?2n1?n2, 2n?由n1?10,n2?53,n3?46得:p? 从而 p1?p?0.3352?0.112,
??22?10?5373??0.335
2?109218p2?2p(1?p)?2?0.335?0.665?0.45 p3?(1?p)2?0.6652?0.44
?????检验统计量及观察值为：???2i?12拒绝域：{?2??0.95(1)?3.84}.
3(ni?npi)2npi???0.801
由于?2?0.801?3.84，故接受H0，即认为数据与模型相符。
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重庆大学概率与数理统计课后答案第八章教学资料
