循环卷积与圆周性卷积的实现
一、实验目的
（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积和圆周卷积和的概念。 （2）理解掌握三者的关系。
二、实验原理
两个序列的N点循环卷积定义为
?h(n)?x(n)?N??h(m)x((n?m))N (0?n?N) （9-16）
k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点循环卷积的结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起
y(n)??h(n)?x(n)?N?(?y'(n?rN))GN(n) （9-17）
k?0N?1其中y'(n)?h(n)*x(n)
也就是说，两个序列N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓，设序列h（n）的长度为N1，序列x（n）的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为N'?N1?N2?1，因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足N?N'的条件，就会有
y(n)?y'(n) (0?n?N) (9-18)
这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾充填适当的零值，使得x（n）和h（n）成为N1?N2?1点序列，并作出这两个序列的N1?N?1循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中的卷积定理
DFT?[h(n)?x(n)]N??DFT[x(n)]?DFT[h(n)]
（9-19）
便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算，二是根据性质线分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干过程，但由于序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。
同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。
三、例题及理论计算
已知有限长序列x（n）与h（n）如图试画出： （1） x（n）与h（n）的线卷积 （2） x（n）与h（n）的7点圆卷积 （3） x（n）与h（n）的5点圆卷积
五点卷积图
四、matlab仿真
用matlab仿真， 方法一：
function y=circonv1(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1') end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2') end
X1k=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; X2k=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1]
x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N;
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N); end
y1=x1*H';
function y=cirshifted(x,m,N) if length(x)>N
error('N必须大于等于x的长度') end
x=[x,zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1);
方法二：
function y=circonv2(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1') end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2') end
X1k=fft(x1,N); X2k=fft(x2,N); Yk=X1k.*X2k; Y=ifft(Yk);
If(all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0)) Y=real(y); end
运行程序：
n=[0:1:4];m=[0:1:4];
N1=length(n);N2=length(m); xn=ones(1,N1); hn=m;
y1n=conv(xn,hn);
y2n=circonv1(xn,hn,N1+N2-1); y3n=circonv2(xn,hn,N1); ny1=[0:1:length(y1n)-1]; ny2=[0:1:length(y3n)-1]; subplot(3,1,1); stem(ny1,y1n); subplot(3,1,2); stem(ny1,y2n); subplot(3,1,3); stem(ny2,y3n); axis[0,25,0,6];
仿真图像为：
圆周卷积题：计算两序列X1（n）={1,2,3,4,5},X2(n)={1,2,3,4,5,4,3,2,1}
的圆周卷积。
function y=circonv2(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1') end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2') end
X1k=fft(x1,N); X2k=fft(x2,N); Yk=X1k.*X2k; Y=ifft(Yk);
if(all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0)) y=real(Y); end
循环卷积和圆周卷积
