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中考数学专项讲解 整体思想
知识梳理
整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．
典型例题
一、在数与式的运算中的应用
【例1】 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则x2?【分析】 如果根据题意直接求出x再代入到x?24x?6的值为 ( ) 3 A．18 B．12 C．9 D．7
4x?6中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考3442虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是x?x的3倍，所以可以将x2?x看作一个整体，则
334x2?x?6?1?6?7．
3【解】D
此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值
a?1?a?4?a?2?，其中a满足a2－2a－1=0． ?2??2?a?2aa?4a?4?a?21，如果把a求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a2－2a2a?2a1看成一个整体，则由已知可得a2－2a=1，所以原式=2?1．
a?2a【分析】 对分式进行化筒结果为
?a?2a?1?a?4a?4a?21?????【解】原式=?
?a?a?2??a?2?2?a?2a?a?2?2a?4a2?2a??1?1． 当a2－2a=1时，原式=2a?2a
【例2】计算：??1111??1111????…?1????…????? 23420082342007????1??1111??1111????…+????+????
2008??2342007??234 .
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【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”． 【解】设：
11111111???…+?a，???…+?b， 234200823420071则原式=a(1+b)－(1+a)b=a－b=．
2008二、在方程中的应用
【例3】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支
圆珠笔、4本日记本需__________元．
【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为x元，y元，根据题意得方程组：??2x?y?4，如果解出x和
x?2y?5?y再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，
这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元． 【解】D
【例
2?x?1?x?14】(08苏州)解方程：??6?0． 2xx2【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程． 【解】 设
x?13?t，则原方程可化为2t2+t－6=0，解方程得：t1=－2，t2?， x211?x1??，x2=2，经检验x1??，x2=2是原方程的解．
33三、在几何计算中的应用
【例5】如图⊙A，⊙B，⊙C
( )
两两不相交，且半径都是0．5 cm，则图中的阴影部分的面积是
A．
?2???cm B．cm2 C．cm2 D．cm2 12846【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5 cm的半圆的面积，即??0.5?【答案】B .
21??cm2．选择B． 28 .
综合训练
1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8
2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为 ( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0 3．当x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式ax3+bx+7的值为 A．7 B．10 C．11 D．12 ( ) 4．若方程组??3x?6y?k?1的解x，y满足0 ?x?3y?3 A．－4 112x?14xy?2y??3，则代数式的值为_________． xyx?2xy?y 6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则x?1=__________． x7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________． 8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米． 9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2． 10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________． .
中考数学--整体思想练习
