第五章 机械波
5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向；
（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示． [解答（]1）与标准波动方程y?Acos(?t?2?x?2π/λ )比较得：
y/cm = 0.6， 5 因此波长为：λ = 10.47(m)；圆频率为：ω = 10π，
频率为：v =ω/2π = 5(Hz)；波速为：u = λ/T = λv = 52.36(m·s-1)．
0.1 0 0.2 且传播方向为x轴正方向．
（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程： y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．
5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿x轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为yA?0.03cos(4?t?= -0.05m处质点P处的振动方程．
[解答]（1）简谐波的波动方程为：y?Acos[?(t?即 y?0.03cos[4?(t?t/s 0.3 ?2（1）简谐波的波动方程；（2）x )(m)．试求：
x?xA)??]； ux?0.05?)?]= 0.03cos[4π(t – 5x) + π/2]． 0.22（2）在x = -0.05m处质点P点的振动方程为：y = 0.03cos[4πt + π + π/2] = 0.03cos(4πt -
π/2)．
5．3 已知平面波波源的振动表达式为y0?6.0?10sin的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s-1．
[解答]振动方程为：y?6.0?10sin?2?2?2t(m)．求距波源5m处质点
?x(t?) ?0.06sin(?t?5?)， 2u24位相差为 Δφ = 5π/4(rad)．
5．4 有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s-1，波长λ = 0.04m，振幅A = 0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：
（1）此平面波的波动方程；
（2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程，该点初相是多少？ [解答]（1）设原点的振动方程为：y0 = Acos(ωt + φ)，其中A = 0.03m．
由于u = λ/T，所以质点振动的周期为：T = λ/u = 0.04(s)，圆频率为：ω = 2π/T = 50π． 当t = 0时，y0 = 0，因此cosφ = 0；由于质点速度小于零，所以φ = π/2． 原点的振动方程为：y0 = 0.03cos(50πt + π/2)， 平面波的波动方程为：
x?y?0.03cos[50?(t?)?]= 0.03cos[50π(t – x) + π/2)．
u2（2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程为：
y = 0.03cos50πt． 该点初相φ = 0．
5．5 一列简谐波沿x轴正向传播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．试求：
（1）P点的振动表达式； （2）波动方程；
y/m （3）画出O点的振动曲线．
t=0 t2=0.25 [解答]（1）设P点的振动方程为 0.2 1 yP = Acos(ωt + φ)， x/m 其中A = 0.2m．
P O 在Δt = 0.25s内，波向右传播了
Δx = 0.45/3 = 0.15(m)，
0.45 所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s-1)．
波长为：λ = 4Δx = 0.6(m)， 图5.5 周期为：T = λ/u = 1(s)， 圆频率为：ω = 2π/T = 2π．
当t = 0时，yP = 0，因此cosφ = 0；
由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以φ = -π/2．
P点的振动表达式为：yP = 0.2cos(2πt - π/2)． （2）P点的位置是xP = 0.3m，所以波动方程为
y/m x?xP?0.2 y?0.2cos[2?(t?)?]
u2?0.2cos(2?t? （3）在x = 0处的振动方程为
y0 = 0.2cos(2πt + π/2)，曲线如图所示．
5．6 如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t = T/4时的波形图，振幅A、波长λ以及周期T均已知．
（1）写出该波的波动方程；
y u （2）画出x = λ/2处质点的振动曲线；
A （3）图中波线上a和b两点的位相差φa – φb为多少？ [解答]（1）设此波的波动方程为： a txy?Acos[2?(?)??]，
T?y?Acos(2?xO 10??x?)． 32 O 0.5 1 t/s
图5.6 b x 当t = T/4时的波形方程为：
?x???)??Asin(2???)． ?2?在x = 0处y = 0，因此得sinφ = 0，
解得φ = 0或π．
而在x = λ/2处y = -A，所以φ = 0． 因此波动方程为：y?Acos2?(tx?)． T?tt??)??Acos2?， TTy A （2）在x = λ/2处质点的振动方程为：y?Acos(2?曲线如图所示．
（3）xa = λ/4处的质点的振动方程为
ya?Acos(2?t??)； T2xb = λ处的质点的振动方程为
tyb?Acos(2??2?)．
T波线上a和b两点的位相差
O t φa – φb = -3π/2．
5．7 已知波的波动方程为y = Acosπ(4t – 2x)（SI）．（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s时的波形曲线．
y [解答]波的波动方程可化为：y = Acos2π(2t – x)，
txt=0 A t=4.2s 与标准方程y?Acos[2?(?)??]比较
u T?，
O 可知：周期为T = 0.5s，波长λ = 1m．波速为u = λ/T = 2m·s-1． 1 0.5 （1）当t = 4.2s时的波形方程为
y = Acos(2πx – 16.8π)= Acos(2πx – 0.8π)． 令y = A，则cos(2πx – 0.8π) = 1，
因此 2πx – 0.8π = 2kπ，(k = 0, ±1, ±2,…)， 各波峰的位置为x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)．
当k = 0时的波峰离原点最近，最近为：x = 0.4(m)．
通过原点时经过的时间为：Δt = Δx/u = (0 – x)/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s之前通过了原点．
（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s，波形向右移动Δx = uΔt = 0.4m，因此t = 4.2s时的波形曲线如虚线所示．
[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得，结果为x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)，
取同一整数k值，波峰的位置不同．当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m．
5．8 一简谐波沿x轴正向传播，波长λ = 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示． y/m （1）写出时x = 0处质点的振动方程；
1 （2）写出波的表达式；
0.5 （3）画出t = 1s时刻的波形曲线．
[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s-1)．
O （1）设x = 0处的质点的振动方程为
y = Acos(ωt + φ)， -1 其中A = 1m，ω = 2π/T = π/2．
图5.8
当t = 0时，y = 0.5，因此cosφ = 0.5，φ = ±π/3．
在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此
φ = π/3．
振动方程为：y = cos(πt/2 + π/3)．
（2）波的表达式为：
x t/s txy?Acos[2?(?)??]
T??cos[(t?x)?]．
23（3）t = 1s时刻的波形方程为
??1 0.5 y/m u O 2/3 -1 x/m ?5?y?cos(x?)，
26波形曲线如图所示．
5．9 在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后π/6，
已知A和B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s．求波速u和波长λ．
[解答] 设波动方程为：y?Acos[2?(那么A和B两点的振动方程分别为：
tx?)??]， T?txyA?Acos[2?(?A)??]，
T?txyB?Acos[2?(?B)??]．
T?xx?两点之间的位相差为：?2?B?(?2?A)??，
??6由于xB – xA = 0.02m，所以波长为：λ = 0.24(m)．
波速为：u = λ/T = 0.12(m·s-1)．
5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt．
（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；
8m 5m 9m （2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程． B A C [解答]（1）以A点为坐标原点，波动方程为 图5.10
D x x?xy?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)．
u5（2）以B点为坐标原点，波动方程为
y?3cos4?(t?x?xA)?3cos(4?t??x??)． u5（3）以A点为坐标原点，则xB = -5m、xC = -13m、xD = 9m，各点的振动方程为
xB)?3cos(4?t??)， ux3?yC?3cos4?(t?C)?3cos(4?t?)，
u5x9?yD?3cos4?(t?D)?3cos(4?t?)．
u5yB?3cos4?(t?[注意]以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程．
5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s-1，振幅A = 1.0×10-4m，频率ν= 103Hz．若该媒质的密度为800kg·m-3，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量． [解答]（1）质点的圆频率为：ω = 2πv = 6.283×103(rad·s-1)， 波的平均能量密度为：w?1m-3)， ??2A2= 158(J·
2平均能流密度为：I?wu= 1.58×105(W·m-2)．
（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量为：E = ItS = 3.79×103(J)．
5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s-1，频率为500Hz．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ = 1.29kg·m-3．
[解答]质点的圆频率为：ω = 2πv = 3.142×103(rad·s-1)，
声波的平均能量密度为：w?1m-3)， ??2A2= 6.37×10-6(J·
2I= 93.4(dB)． I0平均能流密度为：I?wu= 2.16×10-3(W·m-2)， 标准声强为：I0 = 1×10-12(W·m-2)， 此声强的分贝数为：L?10lg
5．13 设空气中声速为330m·s-1．一列火车以30m·s-1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz．一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少？如果观察者以速度10m·s-1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少？
[解答]取声速的方向为正，多谱勒频率公式可统一表示为
?B?u?uB?S， u?uS其中vS表示声源的频率，u表示声速，uB表示观察者的速度，uS表示声源的速度，vB表示观察者接收的频率．
（1）当观察者静止时，uB = 0，火车驶来时其速度方向与声速方向相同，uS = 30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?u330?S?600= 660(Hz)． u?uS330?30u330?S?600= 550(Hz)． u?uS330?30火车驶去时其速度方向与声速方向相反，uS = -30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?（2）当观察者与火车靠近时，观察者的速度方向与声速相反，uB = -10m·s-1；火车速度方向与声速方向相同，uS = 30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?u?uB330?10?S?600= 680(Hz)． u?uS330?30当观察者与火车远离时，观察者的速度方向与声速相同，uB = 10m·s-1；火车速度方向与声速方向相反，uS = -30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?u?uB330?10?S?600= 533(Hz)． u?uS330?30[注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度，规定方向之后将公式统一起来，很容易判别速度方向，给计算带来了方便．
5．14．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s-1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s-1．求：
（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长．
[解答]（1）声音在声源垂直方向的波长为：λ0 = uT0 = u/ν0 = 331/1080 = 0.306(m)； 在声源前方的波长为：λ1 = λ0 - usT0 = uT0 - usT0 = (u - us)/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m)； 在声源后方的波长为：λ2 = λ0 + usT0 = uT0 + usT0 = (u + us)/ν0
u = (331+30)/1080 = 0.3343(m)．
（2）反射面接收到的频率为 uS uB u?uB331?65?1??0??1080 u?uS331?30= 1421(Hz)．
将反射面作为波源，其频率为ν1，反射声音的频率为
u uB
大学物理课后习题答案第五章
