应用 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理在高中数学中的应用
一、定理与推论
拉格朗日中值定理 设函数ｆ（ｘ）满足如下条件：
（１） ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；
（２） ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内可导，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使得 = ｆ（ξ），其中b ＞ a．
推论１ 若在（ａ，ｂ）内， ｆ（ｘ） ≡ 0，则在（ａ，ｂ）内f（ｘ）为一常数.
推论２ 若在（ａ，ｂ）内， ｆ′（ｘ） = ｇ′（ｘ），则在（ａ，ｂ）内ｆ（ｘ） = ｇ（ｘ） + c（ｃ为常数）．
二、应用举例
以下从应用的角度说明在解题中如何运用拉格朗日中值定理及其推论．
１. 运用拉格朗日中值定理证明不等式
例１ 试证当x∈［1，+∞）时，ln1 +x ≥ ln2 ．
分析与说明 这类题原本在高等数学中是常见题型，求解这类题的通常思路是先将一边移到另一边，构造一个函数，然后对它求导． 近些年来，这类题倍受高考命题者青睐．
证明 令ｆ（ｘ） = ln1 +x - ln2，对函数ｆ（ｘ）求导，得
ｆ′（ｘ） = xln1 +′ =
［ｌｎ（１ ＋ ｘ） － ｌｎ ｘ］－ .
令函数ｇ（ｔ） = ｌｎ（ｔ），则ｇ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］上满足拉格朗日中值定理，于是对ln（1 + x） - ln x应用拉格朗日中值定理得到
ln（1 + x）-ln x = ξ∈（ｘ，ｘ + 1）,
所以有f′（x） = - ＞ 0 （x ＞ 0 ），
因此，由上面的结论推出ｆ（ｘ）在ｘ∈［1,+∞）上单调递增，所以ｆ（ｘ）≥ｆ（１），即 ln1 +x -ln2 ≥ ｆ（１） = 0 圯 ln1 +x ≥ ln2.
２． 运用拉格朗日中值定理证明恒等式
例２ 若x ≥ 1，求证：arctan x +arccos=.
分析 在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式tan（α ± β） =，解得tan（α ± β） = 1， α ± β的值可能为． 但此种解法较繁琐，在这里用推论１证明．
证明 设ｆ（ｘ）=arctan x +arccos - ，则 ｆ′（ｘ）≡0，即f（ｘ） = c （ｃ为常数）.
又因为ｆ（１）=arctan1-arccos1 - = 0，
所以c = 0，故ｆ（ｘ） = 0，
即arctan x +arccos=．
３. 运用拉格朗日中值定理求极限
例３ 求 （cos -cos ）.
分析观察函数特征容易想到：若令ｆ（ｔ）=cos ，则ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥ ０）上显然满足拉格朗日中值定理的条件．
解 令ｆ（ｔ）=cos ，显然ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥０）上满足拉格朗日中值定理，得cos -cos =（-sin ξ） ，其中x ＜ ξ ＜ x + 1，
所以 （cos -cos ） ＝
（－ｓｉｎ ξ）＝ ０.
4．运用拉格朗日中值定理证明方程根的存在唯一性
例４ 设ｆ（ｘ）在[0,1]上可导，且0 ＜ ｆ（ｘ） ＜ 1，又对于（０，１）内的所有点x有ｆ′（ｘ）≠-1，证明方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（０，１）内有唯一实根．
分析 证明方程根的存在性就有可能用到介值定理. 在用介值定理证明问题时，选取合适的辅助函数可收到事半功倍的效果. 而在证明唯一性的时候较常用的方法就是反证法，所以本题证明思路就是先证存在性，再证唯一性．
证明 先证存在性．令准（ｘ） = ｆ（ｘ） + x - 1，则准（ｘ）在［０，１］上可导．
因为0 ＜ ｆ（ｘ） ＜ 1．
所以准（0） = f（0） - 1 ＜ 0,准（1） = f（１）＞0.
由介值定理知准（x）在 （0,1）内至少有一个零点， 即方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（０，１）内至少有一个实根．
再证唯一性（反证法）． 设方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在 （0，1）内有两个实根x1，x2，不妨设0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ 1有（fｘ１）=1 - x1，ｆ（ｘ２） = 1 - x2，对ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ2］上应用拉格朗日中值定理，有ξ∈（x1,x2），使
f′（ξ） ＝ = = -1 .
这与题设f′（x）≠-1矛盾，唯一性得证．
拉格朗日中值定理在高中数学中应用非常广泛，远不止以上这些，如利用导数来研究函数的某些性质、描绘函数的图像、解决极值、最值等问题非常简捷，在此就不一一列举了. 【参考文献】
［１］ 华东师范大学数学系．数学分析（第三版 下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.
［２］ 贾俊芳．拉格朗日中值定理的应用．雁北师范学院学报［Ｊ］．２００４．（５）：２５－２８.
［３］ 李艳敏，叶伯英．关于微分中值定理的两点思考，高等数学研究［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.
拉格朗日中值定理在高中数学中的应用
