3.2.3直线的一般式方程学案
一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.
二．重点、难点： 重点： 难点： 三．知识要点：
1. 一般式（general form）：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式方程y??上截距为?ACAx?，表示斜率为?，y轴BBBC的直线. B2 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C'?0；与直线Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C'?0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(x?x0)?B(y?y0)?0.
经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x?x0)?B(y?y0)?0； 经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(x?x0)?A(y?y0)?0.
3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0），l2:A2x?B2y?C2?0（A2,B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0； （2）l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC 12?A2B1?0；（3）l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.
如果A2B2C2?0时，则l1//l2?l2相交?ABCA1B1C1；l1与l2重合?1?1?1；l1与??A2B2C2A2B2C2A1B1. ?A2B2
四．自主探究 例题精讲：
【例1】已知直线l1：x?my?2m?2?0，l2：mx?y?1?m?0，问m为何值时：
（1）l1?l2； （2）l1//l2.
解：（1）l1?l2时，A1A2?B1B2?0，则1?m?m?1?0，解得m＝0. （2）l1//l2时，
1m?2m?2, 解得m＝1. ??m1?1?m【例2】（1）求经过点A(3,2)且与直线4x?y?2?0平行的直线方程； （2）求经过点B(3,0)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程.
解：（1）由题意得所求平行直线方程4(x?3)?(y?2)?0，化为一般式4x?y?14?0.
（2） 由题意得所求垂直直线方程(x?3)?2(y?0)?0，化为一般式x?2y?3?0.
【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
3分析：由两直线平行，所以斜率相等且为?，再由点斜式求出所求直线的方程.
43解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为?，
43∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为?，
43又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：y?3??(x?1)，
4即3x?4y?9?0.
点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式A(x?x0)?B(y?y0)?0而直接写出方程，即3(x?1)?4(y?3)?0，再化简而得.
【例4】直线方程Ax?By?C?0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直
线分别有以下性质?
（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.
分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A≠0，B=0时，直线只与x轴相交. （3）当A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交. （4）当A＝0，B≠0，C＝0，直线是x轴所在直线. （5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线.
点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.
五．目标检测 （一）基础达标
1．如果直线Ax?By?C?0的倾斜角为45?，则有关系式（ ）.
A. A?B B. A?B?0 C. AB?1 D. 以上均不可能 2．若a?b?c?0，则直线ax?by?c?0必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (?1,1) C. (1,?1) D. (?1,?1) 3．直线ax?by?1(ab?0)与两坐标轴围成的面积是（ ）. 1111 A．ab B．|ab| C． D．
2|ab|22ab24．（2000京皖春）直线（3?2）x+y=3和直线x+（2?3）y=2的位置关系是（ ）.
A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合
15．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，
3n的值分别为（ ）.
A. 4和3 B. －4和3 C. －4和－3 D. 4和－3 6．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .
7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若
高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
