人教版七年级数学上册知识大图
第一章：有理数
一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义
（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；
（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；
（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要
严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。 ②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。
③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；
④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；
例1 下列说法正确的是( )
A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数；
C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数；
则a?b是 ；若a2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数。 有理数的分类如下：
（填正数、负数或0） ?b，则a?b是 ；
（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：
??正整数??正整数??正有理数???整数?0?正分数 ???负整数?有理数?有理数?0???正分数负整数?分数??负有理数??????负分数?负分数??概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化
成整数或分数；
②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数；
③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；
例6 若a为无限不循环小数且a?0，b是a的小数部分，则a?b是（ ）
31例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，，0.125，0，?，?6，?0.25，
43正整数集合负整数集合
A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例7 若a为有理数，则a不可能是（ ） A、整数 B、整数和分数 C、
??
? 整数集合?
? ?
q(p?0) D、?p
? 正分数集合?3、数轴
标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；
②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；
1
例3 如果向南走50米记为是?50米，那么向北走782米记为是 ____________, 0米的意义是______________。
例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么?5克表示_________________________
知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我
们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。
例5 若a
?0 ，则a是 ；若a?0，则a是 ；若a?b，
③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； ④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数?a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 ⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式L两个公式选择那个都一样。
例8 在数轴上表示数3的点到表示数a的点之间的距离是10，则数a例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）
④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。 ⑤如果数a和数b互为相反数，则a+b=0；
a??1(ab?0)或b?a?b或L?b?a，这
b??1(ab?0)； a⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可； 例如a?b的相反数是b?a；
例11 下列说法正确的是（ ）
A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1； C、如果a+b=0，则数a和数b互为相反数； D、互为相反数的两个数一定不相等； 例12 求出下列各数的相反数
①
? ；
若在数轴上表示数3的点到表示数a的点之间的距离是b，则数a? 。
b aA、 a+b＜0 B、 ab＜0 C、＜0 D、a?b?0
b例10 下列数轴画正确的是（ ）
4、相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫
然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
②很显然，数a的相反数是?a，即a与?a互为相反数。要把它与倒数区分开。 ③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，
且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。
2
0 a a2 ②a?1 ③a?b ④3c 43) ③???(?2)? ④???????0.2??? 5例13 化简下列各数的符号
0 A
?1
0 B
1
①?(?4.5) ②?(?1知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；
②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于
?2?1 0 1 2 —2
C
—2
?1?2 0 1 2 D
5、绝对值
一个正号，而与正号的个数无关。
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值
(a?0)?a是它的相反数，可用字母a表示如下：a???0(a?0)
??a(a?0)?（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，
也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即
母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例21 计算下列各式
①(?7)?(?3)?(?8)?(?10)?2 ②0.125?32、有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。 （3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。 例22 计算：?7?11?9?5 例23 月球表面的温度中午是101oa?0。
②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对
值相等。
例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )
A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等
112?(?3)?(?11)?(?0.25) 483|a||b||ab|例15 已知ab>0,试求的值。 ??abab例16 若|x|=-x，则x是_________数；
（x?例17 若│x+3∣+∣y—2∣=0，则
例18 将下列各数从大到小排列起来
y)2005 = ；
53、 ?、0.0001 64例19 如果两个数a和b的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）
a A、a?b B、??1 C、a?b?0 D、不能确定
b0、
C，半夜是?153oC，中午比半夜高多少度？
?例24 已知m是6的相反数，n比m的相反数小5，求n比m大多少？ 3、有理数的乘法
（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数
与0相乘都得0。
（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。 （3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也
可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得
负”
②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，
二、有理数的运算 1、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 例20 计算下列各式
①（– 3）–（– 4）+7 ② ③
12 ?5?（?10）?2?（?）33则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。 例25 计算下列各式： ①
??5.3?+??3.2????2.5????4.8?
（2）有理数加法的运算律：
加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)
知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分
3
17111(?1.25)?1?(?2.5)?(?) ② (?12)?(???1)
7846255424③(?45.75)?2?(?35.25)?(?2)?10.5?(?7) ④49?(?5)
999254、有理数的除法
有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。
概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转
化，转化后它满足乘法法则和运算律。
②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为
例27 ①2的意义是_________________________；
②?5的意义是________________________；
4365)的意义是_________________________； 7322例28 当a??3，b?时，则a?b?_________；
2③(?例29 计算：(?2)例30 若a,b(aA、a2n2008?(?2)2009
1(a?0)；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，anm即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒mn数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。
例25 倒数是其本身的数有_________； 例26 计算下列各式： ①?2.5?1?0,b?0)互为相反数，n是自然数，则（ ）
2n?1和b22n互为相反数 B、a和bn2n?1互为相反数
C、a和b互为相反数 D、a和b互为相反数
知识窗口：所有的奇数可以表示为2n?1或2n?1；所有的偶数可以表示为2n。 6、有理数的混合运算
（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。
（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。 知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括
号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。
例31 计算下列各式
2n11?(?8) ②(?5)?7 ③(?48)?(?6) 825、有理数的乘方
（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。 （2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，?1偶数次幂是1、?1奇数次幂是?1； 概念剖析：①“a” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a； ②(?a)nnn??an。因为?an表示n个?a相乘，而(?a)n表示n个a的相反数；
2n?1?1??1?2??1?32①10?????1?1???6 ②??3??2?????4?2????
4?3?3???3??2?例31 已知a的绝对值为3、且a满足x的一元一次方程(a?b)x4
22③任何数的偶次幂都得非负数，即a
?0。
?(3?a)x?2?0，
则a3?b2?a的值为多少？ bn例32 用科学记数法表示下列各数
①1893400000 ②800032000 ③0.000003578012 ④120万人民币； 例33 ①3.256有_________位效数字，它们分别是_________________________；
②0.032560有_________位效数字，它们分别是_________________________； ③3.2560?10有_________位效数字，它们分别是_________________________； ④3.256?10有_________位效数字，它们分别是_________________________；
例34 用四舍五入法完成下列各题
①0.02954?_________（精确到千分位），所得结果有___________位效数字，它们
n887、科学记数法
（1）把一个大于10的数记成a?10的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。
（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。
概念剖析：I 把一个数b用科学记数法表示为a?10，其中1?a?10，n为自然数，
①当b?10时，
分别是_______________________；
②0.999999?_________（精确到万分位），所得结果有___________位效数字，它
们分别是_______________________；
③0.93?_________（精确到个位）所得结果有___________位效数字，它们分别是_______________________；
练习： 一、选择题：
1、下列说法正确的是（ ）
A、非负有理数即是正有理数 B、0表示不存在，无实际意义 C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数 2、下列说法正确的是（ ）
A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等 C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等 3、绝对值最小的数是（ ） A、1 B、0 C、– 1 D、不存在 4、计算
n为这个数b的整数位数减1；例如：用科学记数法表示
188000.04得1.8800004?105，它满足 1?1.8800004?10，
； 5?6?1 （188000.04的整数部分有6位数）
②当1?b?10时，n为0；例如：用科学记数法表示1.8800004得
1.8800004?100；
③当b?1时，n为由b变到a的过程中小数点移动位数的相反数； ④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。
II 在让数字精确和数有效数字时应注意：
①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将2.08965601精确到千分位，应为2.090，不应为2.09。其他分位也应注意。
②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法a?10的形式中，效数字只与a有关，而与10无关。
5
nn??2?4?(?24)所得的结果是（ ）A、0 B、32 C、?32 D、16
5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）A、1 B、0 C、–1 D、±1 6、（– 3）–（– 4）+7的计算结果是（ ）A、0 B、8 C、– 14 D、– 8 7、（– 2）的相反数的倒数是（ ）A、
11 B、? C、2 D、– 2 22
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