高考数学必胜秘诀在哪概念方法题型易误点及
应试技巧总结（四）三角函数
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。假如角的终边在坐标轴上，就认为那个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
〔1〕?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角?1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。〔答：?25；??5?〕 36〔2〕?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). 〔3〕?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). 〔4〕?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). 〔5〕?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
〔6〕?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：
?k???终边在坐标轴上的角可表示为：??k??,k?Z；??,k?Z.如?的终边与的
622终边关于直线y?x对称，那么?＝____________。〔答：2k???3,k?Z〕
4、?与?的终边关系：由〝两等分各象限、一二三四〞确定.如假设?是第二象限角，
2那么
?是第_____象限角〔答：一、三〕 222225.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3.
如扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。〔答：2cm〕
6、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点〔异于原点〕，它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??yx,cos??，rrxryr,?x?0?，cot??(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。三角函
yyxx数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如〔1〕角?的终边通过点P(5，－
712)，那么sin??cos?的值为＿＿。〔答：?〕；〔2〕设?是第三、四象限角，
1332m?3sin??，那么m的取值范畴是_______〔答：〔－1，)〕；〔3〕假设
24?m|sin?|cos???0，试判定cot(sin?)?tan(cos?)的符号〔答：负〕 sin?|cos?|tan??7.三角函数线的特点是：正弦线MP〝站在x轴上(起点在x轴上)〞、余弦线OM〝躺在x轴上(起点是原点)〞、正切线AT〝站在点A(1,0)处(起点是A)〞.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如〔1〕假设??8???0，
那么sin?,cos?,tan?的大小关系为_____(答：
y T B S P α O M A x 〔2〕假设?为锐角，那么?,sin?,tan?tan??sin??cos?)；
的大小关系为_______ 〔答：sin????tan?〕；〔3〕函数
?2?y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______〔答： (2k??,2k??](k?Z)〕
338.专门角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 15° 75° sin? cos? 1 23 23 33 2 22 21 3 26?2 46?2 46?2 46?2 42+3 1 23 1 0 －1 0 tan? cot? 0 0 2-3 1 3 322 0 0 2+3 2-3 9. 同角三角函数的差不多关系式： 〔1〕平方关系：sin??cos??1,1?tan??sec?,1?cot??csc? 〔2〕倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1, 〔3〕商数关系：tan??2222sin?cos? ,cot??cos?sin?同角三角函数的差不多关系式的要紧应用是，一个角的三角函数值，求此角的其它三角
函数值。在运用平方关系解题时，要依照角的范畴和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范畴，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一样不需用同角三角函数的差不多关系式，而是先依照角的范畴确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如〔1〕函数y?sin??tan?的值的符号为____〔答：大于0〕；〔2〕假设0?2x?2?，
cos??cot?那么使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范畴是____〔答：[0,
?4
]
35m?34?2m?[?,?]〕?〕sin??cos??(????)，；〔3〕，那么tan?＝____〔答：；
124m?5m?52tan?sin??3cos?2??1，那么〔4〕＝____；sin??sin?cos??2＝_________
tan??1sin??cos?513aa??〔答：?；〕；〔5〕sin200?a，那么tan160等于 A、? B、
22351?a1?a1?a21?a2?C、? D、〔答：B〕；〔6〕f(cosx)?cos3x，那么f(sin30)的
aa值为______〔答：－1〕。
k???〕的本质是：奇变偶不变〔对k而言，指k取奇数或2偶数〕，符号看象限〔看原函数，同时可把?看成是锐角〕.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一样步骤：〔1〕负角变正角，再写成2k?+?,0???2?；(2)转化为锐角
239?7??三角函数。如〔1〕cos〕；〔2〕?tan(?)?sin21?的值为________〔答：23464sin(540???)??，那么cos(??270?)?______，假设?为第二象限角，那么
543[sin(180???)?cos(??360?)]2________。〔答：；〕 ???5100tan(180???)10.三角函数诱导公式〔
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
cos??????cos?cos?令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? tan?????? ?cos2?＝1tan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?1?? 如〔1〕以下各式中，值为的是 A、sin15cos15 B、cos2?sin2
21212tan22.51?cos30C、 D、 〔答：C〕；〔2〕命题P：tan(A?B)?0，命题
1?tan222.52Q：tanA?tanB?0，那么P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必
要不充分条件 D、既不充分也不必要条件〔答：C〕；〔3〕
sin(???)cos??cos(???)sin??37，那么cos2?的值为____〔答：〕；〔4〕5251300?的值是______〔答：4〕；(5)tan110?a，求tan50的值〔用a表示〕
sin10sin801?a2a?3甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判定
2a1?3a是______〔答：甲、乙都对〕
12. 三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的差不多思路是：一角二名三结构。即第一观看角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常〝切化弦〞；第三观看代数式的结构特点。差不多的技巧有:
〔1〕巧变角〔角与专门角的变换、角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
2??(???)?(???)，????2????2，
???2?????2??????2?等〕，如〔1〕
tan(???)?2?1?3，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____〔答：〕；〔2〕
2245441?2)??，sin(??)?，求cos(???)的值〔答：
229234903〕；〔3〕?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，那么y与x的函数7295343关系为______〔答：y??1?x2?x(?x?1)〕
555(2)三角函数名互化(切割化弦)，如〔1〕求值sin50(1?3tan10)〔答：1〕；〔2〕sin?cos?21?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值〔答：〕
81?cos2?3(3)公式变形使用〔tan??tan??tan??????1tan?tan??。如〔1〕A、B为锐0????????，且cos(???角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，那么cos(A?B)＝_____〔答：?设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?____三角形〔答：等边〕
2〕；(2)23，那么此三角形是41?cos2?1?cos2?2，sin??与升幂22322公式：1?cos2??2cos?，1?cos2??2sin?)。如(1)假设??(?,?)，化简
2(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos??2?11112；〔2〕函数f(x)?5sinxcosx?53cosx ??cos2?为_____〔答：sin〕222225?5??3(x?R)的单调递增区间为___________〔答：[k??,k??](k?Z)〕 21212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如〔1〕tan?(cos??sin?)
sin??tan?1?sin?2；〔答：sin?〕；〔2〕求证：〔3〕化简：??cot??csc?2?1?2sin1?tan2212cos4x?2cos2x?2〔答：1cos2x〕
??22tan(?x)sin2(?x)442222(6)常值变换要紧指〝1〞的变换〔1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx
322?tan??sin??等〕，如tan??2，求sin??sin?cos??3cos?〔答：〕.
425(7)正余弦〝三兄妹—sinx?cosx、 sinxcosx〞的内存联系――〝知一求二〞，如〔1〕
t2?1假设 sinx?cosx?t，那么sinxcosx? __〔答：?)，专门提醒：那个地点
24?7t?[?2,2]；〔2〕假设??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。〔答：?〕；
23sin2??2sin2????k(???)，试用k表示sin??cos?的值〔答：1?k〕〔3〕。
1?tan?42?13、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?1?tan?a2?b2sin?x???(其中?角所
b确定)在求最值、化简时起着重要作用。a如〔1〕假设方程sinx?3cosx?c有实数解，那么c的取值范畴是___________.〔答：[－
32,2]〕；〔2〕当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?)；〔3〕
2假如f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，那么tan?= (答：－2)；〔4〕求值：
在的象限由a, b的符号确定，?角的值由tan??312??64sin20??________(答：32) 22sin20?cos20?14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图
?3?方法：五点法：先取横坐标分不为0，,?,,2?的五点，再用光滑的曲线把这五点连接
22起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质： 〔1〕定义域：差不多上R。
〔2〕值域：差不多上??1,1?，对y?sinx，当x?2k??当x?2k???2?k?Z?时，y取最大值1；
3??k?Z?时，y取最小值－1；对y?cosx，当x?2k??k?Z?时，y取2最大值1，当x?2k????k?Z?时，y取最小值－1。如〔1〕假设函数y?a?bsin(3x?的最大值为
?6)131，最小值为?，那么a?__，b?＿〔答：a?,b?1或b??1〕；〔2〕函222数f(x)?sinx?3cosx〔x?[???22,；〔3〕假设]〕的值域是____〔答：[－1, 2]〕
2?????，那么y?cos??6sin?的最大值和最小值分不是____ 、_____〔答：7；－
5〕；〔4〕函数f(x)?2cosxsin(x?＝__________〔答：2；k???3)?3sin2x?sinxcosx的最小值是_____，现在x1，求t?sin?cos?的222?12；〔5〕己知sin?cos??(k?Z)〕
22变化范畴〔答：[0,]〕；〔6〕假设sin??2sin??2cos?，求y?sin??sin?的最大、最小值〔答：ymax?1，ymin?22?2〕。专门提醒：在解含有正余弦函数的咨询题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
〔3〕周期性：①y?sinx、y?cosx的最小正周期差不多上2?；②f(x)?Asin(?x??)和f(x)?Acos(?x??)的最小正周期差不多上T?假设f(x)?sin，那么f(1)?f(2)?f(3)?3f(x)?cos4x?2sinxcosx
122?。如(1)|?|?x?f(2003)＝___〔答：0〕；(2) 函数
?sin4x的最小正周期为____〔答：?〕；(3) 设函数f(x)?2sin(x?)，假设对任意
25x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，那么|x1?x2|的最小值为____〔答：2〕
〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数，对称中心是
??
高考数学必胜秘诀在哪概念方法题型易误点及应试技巧总结(四)三角函数
