第一篇 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续
高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.
第1节 集合与函数
1.1 集合
1.1.1 集合
讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.
通常用大写字母A、B、C、?表示集合，用小写字母a、b、c、?表示集合的元素.
如果a是集合A的元素，则表示为a?A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，则表示为a?A，读作“a不属于A”.
一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作?.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A，可表示成
A={1,2,3,4,5}；
第二种是描述法，即设集合M所有元素x的共同特征为P，则集合M可表示为
M??x|x具有性质P?.
例如，集合A是不等式x2?x?2?0的解集，就可以表示为
A?x|x2?x?2?0.
由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：
（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N，即
??N??0,1,2,3,?,n,??；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N，即
?N???1,2,3,?,n,??；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z，即
Z???,?n,?,?3,?2,?1,0,1,2,3,?,n,??；
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（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q，即
?p?Q??p?Z,q?N?,且p与q互质?；
?q?（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
1.1.2 区间与邻域
在初等数学中，常见的在数集是区间.设a,b?R，且a?b，则 （1）开区间 (a,b)??x|a?x?b?；
（2）半开半闭区间 [a,b)??x|a?x?b?，(a,b]??x|a?x?b?； （3）闭区间 [a,b]??x|a?x?b?；
（4）无穷区间 [a,??)??x|x?a?， (a,??)??x|x?a?，(??,b]??x|x?b?， (??,b)??x|x?b?，(??,??)??x|x?R?.
以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
图 1-1
在微积分的概念中，有时需要考虑由某点x0附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.
定义1 设?为某个正数，称开区间(x0??,x0??)为点x0的?邻域，简称为点x0的
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邻域，记作U(x0,?)，即
U(x0,?)??x0|x0???x?x0?????x||x?x0|???.
在此，点x0称为邻域的中心，?称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：
图1-2
另外，点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作U(x0,?)，即
oU(x0,?)??x|0?|x?x0|???,
图形表示为（图1-3）：
o
图1-3
其中(x0??,x0)称为点x0的左邻域，(x0,x0??)称为点x0的右邻域. 1.2函数的概念
1.2.1函数的定义
定义2 设x、y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个x?D，通过对应法则
f，有唯一确定的y与之对应，则称y为是x的函数，记作y?f(x).其中x为自变量，y为因变量，D为定义域,函数值f(x)的全体成为函数f的值域，记作Rf，即
Rf??y|y?f(x),x?D?.
函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“?”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.
例1 求函数y?解
1?1?x2的定义域. x121?x2?0，的定义区间满足：x?0；1?x的定义区间满足：解得?1?x?1.
x?1?x?0或0?x?1.
这两个函数定义区间的公共部分是
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同济大学(高等数学)-第一章-函数极限
