_
（3）画树状图，
共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个， ∴P（至少有一家是A等级）=
=．
【点评】本题考查的列表法和树状图法、概率公式、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP； （2）求证：PB2=PC?PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到
_
结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B， ∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°， ∴∠BAC=∠CBP；
（2）∵∠PCB=∠ABP=90°， ∠P=∠P， ∴△ABP∽△BCP， ∴
，
∴PB2=PC?PA；
（3）∵PB2=PC?PA，AC=6，CP=3， ∴PB2=9×3=27， ∴PB=3
，
=
=
．
∴sin∠PAB=
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角
_
函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
23．（10分）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以
cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式； ②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6﹣t，DE=6
﹣
，由题意得，DM=t，BE=
t，求得AM=6
t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
，由
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=①求得BF=
，得方程
=
，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
_
∴AD=AB，∠BAD=90°， ∵MN⊥AF， ∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°， ∴∠BAF=∠AMH， 在△AMN与△ABF中，∴△AMN≌△ABF， ∴AF=MN；
，
（2）①∵AB=AD=6， ∴BD=6
，
t， t，
由题意得，DM=t，BE=∴AM=6﹣t，DE=6∵AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴∴y=
，即；
﹣
，
②∵BN=2AN， ∴AN=2，BN=4，
由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°， ∴△ABF∽△AMN，
_
∴=，即，
=，
∴BF=
由①求得BF=∴
=
，
，
∴t=2， ∴BF=3， ∴FN=
=5cm．
【点评】本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C． （1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2017年度山东地区菏泽市中考数学试卷(含解析)
