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思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。
第⑴问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。
第⑵由D、M所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。
本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C为定点，P为不确定的点，因此应考虑GC为腰、GC为底，并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在P点，结合P点的位置，通过设置P点坐标参数，用所设参数表示出相应三角形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出P点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模的能力。
2.2转化思想
代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。
例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA （1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分） （2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。 ①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分） ②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分） 解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4 2 ∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4)， 将点C(0,2)代入，可求a= ∴为所求 ⑵； 提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得 *- ②直线BC的解析式为，设，利用勾股定理和点在直线 BC上，可得两个方程组 ⑶方法1：连OP。如图4。 分别可求和。 P（m，n）在抛物线上 ∴P（m， ） S△CPO=S四边形ODPC－S△OCD =S△POC+ S△PDO－S△OCD= OC·|xp|+OD·|yp|—OC·OD =×2m+×2（）－×2×2 =－m+m=－（m－）+ 当m= 时，S△CPO面积最大，此时P（ ，） 方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。 易求PC的解析式为，且，故 *- ∴当时，， 思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题 第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。 第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。 第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。 2．3极端值思想 代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。 例3．已知 为线段 上的动点，点 在射线上，且满足 ，且点 与点 （如图1所示）． 重合时（如图2所示），求线段 的长； （1）当 （2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距 离为，，其中表示的面积，表示的面积，求 关于的函数解析式，并写出函数定义域； *- （3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图3所示），求 的大小。 解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等 腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。 （2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。 由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE ∴=，∴PF=PE S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=×3PE ∴y=（2－x） P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。 CD=，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ= ∴函数的定义域：0≤x≤ *- (3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。 由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB, 又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90° 方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即== ∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90° 思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。 第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ （B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。 第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。 ⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。 2．4数形结合思想（用好几何性质） 代表性题型：函数与几何综合题。 例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为 , 与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。 ⑴求次抛物线的函数表达式。 (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? 解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3） 抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）
数学课例研究报告
