高中数学数列知识点总结经典

数列基础知识点和方法归纳

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1? bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

a?0?n?1?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S偶?S奇?nd，

S奇S偶?an. an?1，有

（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)，

S奇?SS奇偶?an，

S?nn?1. 偶2. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.

?na1(q?1)前n项和：S?n??a1?1?qn??（要注意！）

?1?q(q?1)性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；

n?2时，an?Sn?Sn?1. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列?a111n?，2a1?22a2?……?2nan?2n?5，求an

解 n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a12?11?2a2?……2n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：12a，∴an?1?14(n?1)nn?2n?2，∴an???2n?1(n?2)

［练习］数列?aS5n?满足n?Sn?1?3an?1，a1?4，求an

注意到an?1?Sn?1?Sn，代入得

Sn?1S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n；

①

②

Sn?4n ·4n?1 n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3（2）叠乘法

an 如：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an

ann?1解

aa2a312n?13a1·……n?·……，∴n?又a1?3，∴an?a1a2an?123nn. a1n（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

?a3?a2?f(3)??n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

n?1a2?a1?f(2)?an?1?n?2?，求an（

an?1n?3?1?2）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?d?dd?，c为公比的等比数列 ，∴?an??是首项为a1?c?1c?1c?1??∴an?dd?n?1d?n?1d????a1?·ca?a?c?，∴ n??1?c?1?c?1?c?1?c?1?（5）倒数法 如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：

a?2111111?? ?n??，∴

an?1an2an?12an2an?1?11111·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?an222a1?an?∴an?( 附：

2n?1

公式法、利用

an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 )

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1

k?1akak?1n解：由

n111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1???????????……??∴???????? ??ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??［练习］求和：1?（2）错位相减法

111 ??……?1?21?2?31?2?3?……?n若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由

Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

①

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

②

x?1时，Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2［练习］已知f(x)?，则

1?x2?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222x1?x1?x1?x???1?1????x?

2?∴原式?f(1)??f(2)??(附：

?1???f?????f(3)??2????1???f?????f(4)??3???1?1??1f?????1?1?1?3

2?4??2a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。