第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
知识
一、分类加法计数原理 1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 2．分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法． 【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情. 二、分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法计数原理的原理：
3．两个计数原理的联系与区别
1
分类加法计数原理 联系 分步乘法计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题． (1)完成一件事共有n类方法，关键词是“分类”． 区(2)各类方法都是互斥的、并列的、相互别 独立的. (3)每类方法都能完成这件事． 三、两个计数原理的应用
(1)完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”． (2)每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事． (3)各步之间是互相关联的、互相依存的. 1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．
2．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．
知识参考答案： 一、1．m+n
2．m1＋m2＋···＋mn 二、1．m×n
2．m1×m2×···×mn
重点
2
重点 难点 易错 1．分类加法计数原理的应用
分类加法计数原理、分步乘法计数原理 两个计数原理的应用 混淆分步、分类致误或分步、分类时考虑不全致误 对分类加法计数原理的理解注意点：
（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定一个分类标准，在这个标准下进行分类.
（2）“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.
简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.
【例1】从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有 A．2种 C．5种 【答案】C
B．3种 D．6种
【例2】把3枚相同的纪念邮票和4枚相同的纪念币作为礼品送给甲、乙两名学生，要求全部分完且每人至少有一件礼品，则不同的分法共有 种. 【答案】18
【解析】以甲分得的礼品数为标准分类（用(a,b)表示甲分得纪念邮票a枚，纪念币b枚），可分为6类：第1类，甲分得1件礼品有2种分法：（1,0），（0,1）；
第2类，甲分得2件礼品有3种分法：（2,0），（1,1），（0,2）； 第3类，甲分得3件礼品有4种分法：（3,0），（2,1），（1,2），（0,3）； 第4类，甲分得4件礼品有4种分法：（3,1），（2,2），（1,3），（0,4）；
3
人教版高中数学选修2-3讲义资料,复习补习资料(含知识讲解,巩固练习)：全册资料合集
