立体图形长方体与正方体
知识要点 名称 图形 特征 度量 长方体 八个顶点，六个面，相对的面相等，十二条棱，相对棱相等． 表面积 S?2(ab?ah?bh) V?abh V?Sh（S为底面积） 体积 正方体 八个顶点，六个面都是相等的正方形，十二条棱都相等． 表面积 S?6a2 体积 V?a3 拓展与提高
1． 长方体与正方体堆垒
【例1】如图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图
和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？
请用积木将具有这个最小体积的立体堆放出来．
(正视图)（俯视图）（侧视图）
【练一练】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，
从上面看如图2所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
图 1图 2
【例2】下图是三面涂黑、棱长为1cm的两个正方体的展开图．展开图可分别组成A、B两个正方体． 现在，将这些正方体相同颜色的面粘连在一起，做成一个棱长为2cm的正方体，如右上图所示：
要求在1个顶点的周围有三面是黑色的，除此以外的面不涂颜色．
请问：正方体A、正方体B各用多少个？
正方体A正方体B
【例3】用四块同样的长方形纸板和二块同样的正方形纸板做一个长方体的纸箱，已知纸箱的表面积为
902平方分米，而且长、宽、高均为整数厘米．求它的体积最大是多少？
【例4】一个大长方体的尺寸为n?11?10，它是由一些单位立方体（注：1?1?1和一个2?1?1）的长
方体构成．2?1?1的长方体在大长方体中有2362个位置可以放置．那么n? ．
【例5】将棱长为n厘米（n是自然数）的正方体表面涂色，然后分割成棱长为1厘米的小正方体．恰
有两面涂色的小正方体的个数等于没有涂色的小正方体个数的3倍．n? 厘米．
【例6】有甲、乙、丙三种木块，规格分别为1?1?2，1?1?3，1?2?2（单位：分米）现要求用这些
木块拼20个3?3?3的正方体，现在有足够的丙种木块，还有22块乙种木块．问最少要甲种木块多少块？
【例7】甲、乙、丙三个小正方体木块的棱长之比为1:2:4，用这三种木块拼一个棱长最小的大正方体
和一个体积最小的长方体（每个形状的三种木块都要用到），一共最少需要这三种木块多少块？
【练一练】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，甲的棱长为1cm，乙的棱长为2cm，丙的棱长
为3cm，如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体且每种至少用一块，那么需要这三种木块总和至少 块． 18【探究题】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的体积是乙的，乙的体积是丙的．如
827果甲、乙、丙这三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用1块），那么最多需要这三种木块共 块，最少需要这三种木块共 块．
【练一练】有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的
的棱长的
1，乙的棱长是丙22．如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用一块），3那么，最少需要这三种木块一共 块．
【例8】图⑴中，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上，（不考虑水箱壁厚）
1 ①当水箱像图⑵这样倾斜，水箱中水流出，这时AB长 厘米．
5②当水箱如图⑶这样倾斜到AB的长度为8厘米后，再把水箱放平如图⑷，这时水箱中水的深度是 厘米．
MN2A3B3???????（1）???????（2）???????（3）A2B???????（4）AB
【例9】如图1，一个长方形的水池子深1.25米，一个水龙头要注满水池需要3.5小时，现在要在池内
设置两块与池壁平行的挡板（体积忽略不计），一块高0.8米（B点），它拦成的区域恰好容纳1小时注水量，另一块高1米（C点），它拦成的区域恰好容纳2小时注水量．那么，AB、BC、
CD这三段距离的比是 ．
1.250.8AB1CD
【例10】今有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各作一个小立方体，于是
得到八个小立方体．在这些立方体中，上面四个的棱长为12，下面四个的棱长为13，那么所有这八个小立方体公共部分的体积是 ．
1212121213131313
3． 体积的代换
【例11】如图，将一个正方体分成了大、小两个长方形．大长方体的表面积是小长方体的2.5倍．大
长方体的体积是小长方体的 倍．
【例12】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体．这三个长方体的表面
积比是3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： ．
计算达标 1．
3?2?1??51?x?1??2???x ?2?3?4??2651?1?解：??1?1??3??x
26?4??3?6?30x 2 3x?123x?2x?30?12?36
x?6
7(x?1)2(x?1) ?1?63解：7(x?1)?6?4(x?1)
2．
?x4? 4 7x?7?6 7x?4x?4?6?7
3x?17
x?17 34x?1x?1??1 32解：2(4x?1)?3(x?1)?6
3．
8x?2?3x?3?6
8x?3x?6?2?3
5x?1
x?1 53?x2x?5?1?46
解：3(3?x)?12?2(2x?5)
x?1?22x(?2 5 9?34．
x?1?2 4x?3 x?13
1?0 9练习
1． 有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如
果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n? ． 【解】正方体每个面的面积是144?4?36（平方厘米）．
n?(3096?36?2)?144?21． 2． 如图所示，每个部件由3个棱长为1的正方体焊接而成．用3个这样的部件拼成立体图形，使得
表面积尽量的小．并写出这个立体图形的表面积． 【答案】28
【提示】拼成如右下图．
部件
3． 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的我面体的
表面积是 平方厘米．
【解】我们可以用三视图的方法来求解表面积．首先注意到，此题设有陷阱． （1）正视图： （2）侧视图： （3）俯视图：
252?32?22?38cm2 52?32?34cm 52?25cm2
那么表面积是(38?34?25)?2?194cm2．
4． 有64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 ． 【解】没有露在表面的小正方体有(4?2)3?8（个），用黑色的．
在面上但不在边上的小正方体有(4?2)3?6?24（个），其中22个用黑色．
这样，在表面的4?4?6?96（个）小正方形中，22个是黑色，96?22?74（个）是白色，则
白色与黑色的面积之比最大为74:22?37:11．
5． 一个长、宽、高都是整数厘米的长方体（其中长?宽=高）将这个长方体的六个面全部染成红色，
然后全部切割成体积为1立方厘米的小正方体．如果已知其中二面染成红色的有120块．求原来的长方体体积最大是多少？
五年级奥数竞赛班专题讲义立体图形长方体与正方体加答案
