ur?AB，可得|?|的最大值. ?osin60sin?【详解】解：如图，
ur
ruuururuuuruuu数形结合知??AB,??AC,AB?1,点C在圆弧长运动，设?ABC??，
urur23?23AB由正弦整理可得：，可得??， sin???o33sin60sin?故|?|的最大值是urur23， 3故答案为：23. 3【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，注意数形结合及正弦定理的灵活运用，属于中档题.
三、解答题：每小题12分，共5小题，共60分.
17.已知正项等比数列?an?满足2a1?3a2?33，a2a4?27a3，数列?bn?满足bn?log3an?1，n?N?. （1）求?an?、?bn?的通项公式；
（2）记cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和为Tn.
n【答案】（1）an?3;bn?n?1;（2）Tn??【解析】 【分析】
（1）设正项等比数列?an?的公比为q，由2a1?3a2?33，a2a4?27a3，列出关于a1与q的方程，求解可得?an?的通项公式，由bn?log3an?1，n?N?可得?bn?的通项公式；
n（2）由（1）可得cn?an?bn?(n?1)3，由错位相减法可得数列?cn?的前n项和为Tn.
2【详解】解：设正项等比数列?an?的公比为q，由a2a4?27a3，可得a3?27a3，a3?27，
的32n?1?()?3n?1 44由2a1?3a2?33，可得2?2727?3??33，可得11q2?27q?18?0， 2qq解得：q1?3或q2??6n(舍去)，故可得：a1?3，an?3； 11n?1由bn?log3an?1，可得bn?log33?n?1；
（2）由（1）可得：cn?(n?1)3n，
Tn?2?31?3?32?...?n?3n?1?(n?1)?3n， ① 3Tn?0?2?32?3?33?...?n?3n?(n?1)?3n?1，②
①?②得：?2Tn?2?3?3?3?...?3?(n?1)?3化简可得：?2Tn?123nn?13(3n?1)?3??(n?1)?3n?1，
23132n?1?(n?)?3n?1，Tn???()?3n?1. 2244【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列基本量及通项公式的求法，错位相减法求数列的和，属于基础题型，注意运算准确.
18.某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： [20,30),[30,40),?[80,90] ，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】(1)0.4. (2)20人. (3) 3:2. 【解析】
【详解】分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到 分数小于70的概率；
(2)根据题意，根据样本中分数不小于50频率为0.9，求得分数在区间[40,50)内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间[40,50)内的人数；
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.
详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为 (0.02+0.04)×10=0.6 ,
样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4 (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为
?0.01?0.02?0.04?0.02??10?0.9，
分数在区间40,50?内的人数为100?100?0.9?5?5． 所以总体中分数在区间40,50?内的人数估计为400???（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
的5?20． 1001?30 2?0.02?0.04??10?100?60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60?所以样本中的男生人数为30?2?60，女生人数为100?60?40，男生和女生人数的比例为60:40?3:2 点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
19.如图所示1，已知四边形ABCD满足AD//BC，BA?AD?DC?1BC?1，E是BC的中点.将△BAE2沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE?平面AECD，F为CD的中点，如图所示2.
（1）求证：EF?平面AB1E； （2）求AE到平面CB1D距离.
【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】 【分析】
（1）连接DE，取AE的中点G,连接B1G, 证明EF?AE且EF?AE，可得EF?平面AB1E； （2）连接GD,取B1D的中点H点，连接GH,可得GH即为AE到平面CB1D的距离，由已知计算可得答案.
【详解】证明：（1）如图，连接DE，取AE的中点G,连接B1G,
在四边形ABCD中，由AD//BC，BA?AD?DC?的6 41BC?1，E是BC的中点， 2易得四边形ABED、四边形AECD均为平行四边形，可得AE?DE?CE?1,
?ABE、?ADE、?DCE均为等边三角形，
在等边?DCE中，F为CD的中点，可得EF?CD,且AEPCD,故EF?AE, 在等边?B1AE,G为AE的中点，故B1G?AE,又平面B1AE?平面AECD， 平面B1AEI平面AECD?AE,且B1G?平面B1AE，故可得：B1G?平面AECD， 故：B1G?EF,由EF?AE，B1GIAE?G，B1G?平面B1AE，AE?平面B1AE，
故：EF?平面AB1E；
（2）如图，连接GD,取B1D的中点H点，连接GH,
由（1）得：B1G?平面AECD，故B1G?CD,
且易得四边形DGEF为平行四边形，DG∥EF，由CD?EF,可得CD?GD, 由B1GIGD?G,且B1G?平面B1GD,GD?平面B1GD,可得CD?平面B1GD，
CD?GH,易得B1G?GD?3，且H点为B1G的中点， 2故GH?B1D,又B1D?CD?D,且B1D?平面B1CD,CD?平面B1CD,
故GH?平面B1CD，易得AE到平面CB1D的距离即为点G到平面CB1D的距离， 在RT?B1GD中，B1G?GD?36, ，可得GH?24即AE到平面CB1D的距离为
6. 4【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，综合性大，属于难题. 20.已知函数f(x)?ex(x?aex) （1）当a?0时，求f(x)的极值；
（2）若f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1?x2)，求a的取值范围; 【答案】（1）极小值f(?1)??【解析】
试题分析：(1)当a?0时，代入求导得出结果(2)对f?x?求导，设g?x??x?1?2ae，在对g?x?求导，
x11（2）0?a?
2e1?1?gln?ln?0，即可算出结果 讨论a?0、a?0时的单调性，确定取得极限时的值，然后求??2a?2a?
2020届陕西省西安市高新一中高三第五次模拟考试数学(文)试题(解析版)
