2013一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列；
2°.通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22②等比数列：1°.定义若数列{an}满足an?1，则{an}称等比数列；2°.通项公式：?q（常数）
anan?a1qn?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn)?(q?1),当q=1时Sn?na1. ;3°.前n项和公式：Sn?1?q1?q2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,
1°.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??.
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质：
1°.若{an}是公差为d的等差数列，则?a,?a,?akkk?1k?n?12nk?2n?13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列；
2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）
⑤若{an}是等比数列，
?a,?a,?ak?1k?n?1k?2n?1k组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为
1 / 9
则顺次n项的乘积：a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列. ⑥若{an}是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶
22数项的和）；
2°.若n为偶数，则S偶?S奇?nd. 2（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或
a，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为q“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa,?,aq,?aq3),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问题：
111,,成等差数列，求证： abcb?cc?aa?b（1）成等差数列； ,,abcbbb（2）a?,?,c?成等比数列.
222（Ⅰ）已知
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
112a?c2①c ),?????2ac?b(a?acbacb②
22b?ca?bbc?c?a?abb(a?c)?a2?c2(1)????acacac2(a?c)22(a?c)??.b(a?c)b
b?cc?aa?b?,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a?)(c?)?ac?(a?c)??(?)2,22242bbb?a?,?,c?成等比数列.222?[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
① （Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
2 / 9 ②
1282，求项数n.
[解析]设公比为q,?n?12a1a3a5?an1024??42
a2a4?an?11282(1)
35252?a1?q?42而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?q1?2?3??(n?1)?2n352352)?2,将(1)代入得(2)?2,
5n35?,得n?7.22（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,
求数列{kn}的前n项和.
[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,
2?(a1?4d)2?a1?(a1?16d)?d(a1?2d)?0?d?0,?a1?2d,?数列{akn}的公比q?a5a1?4d??3,a1a1①②
?akn?a1?3n?1?2d?3n?1而akn?a1?(kn?1)d?2d?(kn?1)d由①，② 得kn?2?3n?1?1,3n?1{kn}的前n项和Sn?2??n?3n?n?1.3?1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有
22???(a?d)(a?d?32)?a?d?32d?32a?0???22??(a?4)?(a?d)(a?d)8a?16?d??826?3d2?32d?64?0,?d?8或d?,得a?10或,
39226338?原三数为2,10,50或,,.999（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a?15,a?5,a?5,a?15(a?15),
3 / 9
?(a?152)?(a?5)2?(a?5)2?(a?15)2?(2m)2(m?N?)?4a2?500?4m2?(m?a)(m?a)?125,?125?1?125?5?25,?m?a与m?a均为正整数,且m?a?m?a,?m?a?1?m?a?2?????m?a?125?m?a?25解得a?62或a?12(不合),?所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
等差数列 等比数列 ?an-an-1=d (定义) ?2an=an-1+an+1（等差中项） ?an=am+(n-m)d（通项公式） ?m+n=p+qam+an=ap+aq（通项公式） ?S1=a1 ?an=Sn-Sn-1 ?=q (定义) ?an2=an-1an+1 （等差中项） ?an=amqn-m （通项公式） ?m+n=p+qaman=apaq（通项公式） ?S1=a1 ?an=Sn-Sn-1 ?a1+an=a2+an-1=a3+an-2…(在等差数列中，?Sn , S2n-Sn , S3n-S2n ,…, Skn-S(k-1)n成等比数列，首末两项距离相等的两项和等于首末两项q=qn 的和)[e.g.? a7+a8=a1+a14?2a10=a5+a15] ?Sn= ?S2n-1=(2n-1)an ? Sn , S2n-Sn , S3n-S2n ,…, Skn-S(k-1)n成等差数列,公差d=n2d
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列（C）存在且唯一 （D）不存在
4 / 9
2.、在等差数列
（A）an?an?中，a1?4,且a1,a5,a13成等比数列，则?an?的通项公式为（ ）
?3n?1 （B）an?n?3（C）an?3n?1或an?4（D）an?n?3或an?4
3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则
ac?的值为（ ） xy（A）
1 （B）?2 （C）2（D） 不确定 24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，
y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列
?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为（ ）
?2n?2（B）an?8n?2 （C）an?2n?1（D）an?n2?n
（A）an6、已知(z?x)2?4(x?y)(y?z)，则（ ）
（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列（C）
111111,,成等差数列 （D）,,成等比数列 xyzxyz7、数列
?an?的前n项和Sn?an?1，则关于数列?an?的下列说法中，正确的个数有（ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
8、数列1
1111,3,5,7,?,前n项和为（ ） 248161111112222（A）n?n?1（B）n?n?1?（C）n?n?n?1 （D）n?n?n?1?
2222229、若两个等差数列
?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn，且满足An87（C）
Bn?a5?a134n?2，则
5n?5b5?b13的值为（ ）
（A）
10、已知数列
79 （B）
197（D）208
?an?的前n项和为Sn?an?的通项公式an?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为（ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列
?n?5为, 从?an?中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列
的前n项和为（ ）
n(3n?13)3n?10n?33n?1?10n?3n（A） （B）3?5 （C）（D）
22212、下列命题中是真命题的是( )
5 / 9
（非常好）等差等比数列基础知识点以及练习题（含答案）
