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专题21 多边形内角和定理的应用
一、三角形
1.三角形的内角和：三角形的内角和为180° 2.三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 二、多边形
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 8.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n边形共有
n(n-3)条对角线。 2
【例题1】（2020?济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（ ）
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A．9 【答案】B
B．8 C．7 D．6
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解． 【解析】设所求正n边形边数为n， 则1080°＝（n﹣2）?180°， 解得n＝8．
【对点练习】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数 为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9 【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°， 解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
【例题2】（2020?湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ． 【答案】6
【解析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
设该多边形的边数为n，
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根据题意，得，（n﹣2）?180°＝720°， 解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
【对点练习】（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
【答案】140°
【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得多边形的边数为：
，
∴∠OAD＝．
一、选择题
1．（2020?北京）正五边形的外角和为（ ） A．180° 【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
B．360°
C．540°
D．720°
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专题21 多边形内角和定理的应用(解析版)
