2020年上海市崇明区高考数学一模试卷
题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（ ）
三 总分 A.
B. -a＞b C. a3＜b3
D. a2＞b2
2. 已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是
底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（ ）
A. B. 1 C.
D.
4. 若不等式（|x-a|-b）sin（πx+）≤0对x∈[-1，1]恒成立，则a+b的值等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______． 6. 不等式|x-2|＜1的解集是______． 7. 半径为1的球的表面积是______．
8. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和Sn=______． 9. 函数f（x）=10. 计算：11. 在二项式
的反函数是______． =______．
的展开式中，常数项等于______．
12. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为______ ． 13. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值
等于______． 14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，
则实数a的值等于______． 15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工
作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．
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1
16. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB
交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则
的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
AB=BC=1，BB1=2．17. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°， （1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小； （2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．
18. 已知函数
（1）求函数
．
的最小正周期和单调递减区间；
，
，若
，
（2）设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
求a,b的值．
（考虑到高速公路行车安全要求19. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶
60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为
升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．
20. 已知椭圆
，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D．圆O
是以线段AB为直径的圆． （1）求圆O的方程；
（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x
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2
轴于点M、N，求证：否存在点P，使得
为定值；
？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点P是椭圆Γ上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是
{bn}，{cn}满足：bn+1=|cn|-|an|，对任意的n∈N*，都有an+1=|bn|-|cn|，21. 已知无穷数列{an}，
cn+1=|an|-|bn|．记dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示3个实数x，y，z中的
最大值）．
（1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值；
（2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；
（3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，由于a＜0＜b，则＜0＜，A错误； 对于B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B错误；
对于C，由于a＜0＜b，则a3＜0＜b3，C正确； 对于D，若|a|＜|b|，则a2＜b2，D错误； 故选：C．
根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题． 2.【答案】B
【解析】【分析】
由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．
本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题． 【解答】
z不一定为纯虚数，解：对于复数z，若z+=0，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．
∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件． 故选B.
3.【答案】D
【解析】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H． ∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为， ∴OH=EH=． ∴OE=1．
在平面CED内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程
F为抛（p＞0），
C（1，）， 解得p=1．
即OF=，EF=， ∴该抛物线的焦
=
根据圆锥的性物线的方程，计角三角形的关系本题考查了圆锥程，考查了转变查了推理能力与4.【答案】B
为y2=2px． 物线的焦点． ∴2=2p?1． F（，0）．
∵PB=2，PE=1，
点到圆锥顶点P的距离为故选：D．
质，建立坐标系，确定抛算出EF的长度，结合直进行求解即可．
的性质、抛物线的标准方角度解决问题的能力，考计算能力，是中档题．
【解析】解：当-1≤x≤-或≤x≤1时，sin（πx+）≤0， 当-≤x≤时，sin（πx+）≥0，
∴当-1≤x≤-或≤x≤1时，|x-a|-b≥0，当-≤x≤时，|x-a|-b≤0，
设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， 且f（x）的图象关于直线x=a对称，
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∴f（-）=f（）=0，
∴2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=． ∴a+b=． 故选：B．
设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．
本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题． 5.【答案】{1，2}
【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}； ∴A∩B={1，2}． 故答案为：{1，2}． 进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 6.【答案】（1，3）
【解析】解：由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1， 解得1＜x＜3，
故答案为：（1，3）．
由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，由此解得不等式的解集． 本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 7.【答案】4π
【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π?12=4π． 故答案为4π．
直接利用球的表面积公式，即可得出结论．
本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础． 8.【答案】n2
【解析】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差为2， ∴该数列的前n项和Sn=n×
=n2．
故答案为：n2．
利用等差数列前n项和公式直接求解．
本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】f-1（x）=x2-1（x≥0）
【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y≥0， ∴f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x≥0）， 故答案为：f-1（x）=x2-1 （x≥0）． 将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案．
本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档． 10.【答案】3
【解析】解：故答案为：3．
可将分子分母同除以3n再利用
和极限的四则运算法则即可求解．
本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在．
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2020届 上海市 崇明区高考一模 数学试卷(解析版)
