第一章习题解答
1. 在下列各对数中，X是精确值ａ的近似值
（1） ａ=π，x=3.1 （2） ａ=1/7，x=0.143 （3） ａ=π/1000，x=0.0031 （4） ａ=100/7，x=14.3 试估计x的绝对误差和相对误差。 解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr= e/∣x∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr= e/∣x∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr= e/∣x∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr= e/∣x∣≈0.001
2. 已知四个数：x1=26.3，x2=0.0250， x3= 134.25，x4=0.001。试估计各近似数的有效位
数和误差限，并估计运算μ1= x1 x2 x3和μ1= x3 x4 /x1的相对误差限。
-2
解：x1=26.3 ｎ=3 δx1=0.05 δrx1=δx1/∣x1∣=0.19011×10 -2
x2=0.0250 ｎ=3 δx2=0.00005 δrx2=δx2/∣x2∣=0.2×10
-4
x3= 134.25 ｎ=5 δx3=0.005 δrx3=δx3/∣x3∣=0.372×10
x4=0.001 ｎ=1 δx4=0.0005 δrx4=δx4/∣x4∣=0.5
n
由公式：er（μ）= e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σi=1∣?f/?xi∣δxi
er（μ1）≦1/∣μ1∣［x2x3δx1+ x1x3δx2 +x1x2δx3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049
2
er（μ2）≦1/∣μ2∣［-x3x4/ x1δx1+ x4/ x1δx3 + x3/ x1δx4］ =0.49707
3. 设精确数ａ>0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。
n
解：δr≦Σi=1∣?f/?xi∣δxi
=1/㏑x·1/ x·δx=δrx/㏑x=0.2/㏑x即δr≦0.2/㏑x
4. 长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的
2
误差不超过1cm。 解：S=2（xy+yz+zx）
δrS≦［(x+y)δz+(y+z)δx+(z+x)δy］/∣xy+yz+zx∣ δx=δy=δz
δrz≦(x+y+z)δx /∣xy+yz+zx∣<1 ∴δx<17/6≈1.0625
5.已知p(x)?(x?10)4?0.200(x?10)3?0.0500(x?10)2?0.00500(x?10)?0.00100 用秦九韶法计算p(10.11),计算用3位有效数字.并求此问题的条件数Cond(f(x)).
解： p(x)?(x?10)((x?10)((x?10)((x?10)?0.200)?0.0500)?0.0500)?0.00100故p(10.11)?0.11(0.11(0.11(0.11?0.200)?0.0500)?0.0500)?0.00100?0.0014676?0.147?10?2Cond((f(x))?xf'(x)f(x)10.11*p'(10.11)?0.6291p(10.11)
Cond((p(10.11))?6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。
（1）x?1?x,|x|?1 （2）
11?x?,|x|?1 1?2x1?x（3）(1?cosx),x?0,|x|?1 （4）x?1?x?1,|x|?1
xxx1解：（1）x?1?x? x?1?x211?x2x（2） ??1?2x1?x(1?2x)(1?x)2（3）(1?cosx)?sinx
xx(1?cosx)（4）x?1?x?1?xx2x(x?1?x?1)22 7、计算(2?1)6的近似值，取2?1.414。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差
最小。 （1）（3）
' 解：计算各项的条件数cond(f(x))?|xf(x)|
f(x)1(2?1)61(3?22) （2）(3?22)3 （4）99?702 3 f1(x)?1,cond(f1(x))|x?1.414?20.4804 6(x?1) f2(x)?(3?2x)3,cond(f2(x))|x?1.414?49.3256 f3(x)?1(3?2x)3,cond(3f(x)?)1|.4?14x49. 4448 f4(x)?99?7x0c,ond4(f(xx|1?4?)1).4 4949 由计算知，第一种算法误差最小。 ?18. 考虑无穷级数?它是微积分中的发散级数。在计算机上计算该级数的部分和，会得
n?1n到怎样的结果？为什么？解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着n的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情
况。
解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，
分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。 10、试导出计算积分In??111xndx (n?1,2,3,4)的递推计算公式In?(?In?1)，用此递
4n1?4x0推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
xn14xn?xn?1?xn?11n?1xn?1 解：In?dx??dx?(?xdx??dx) ?1?4x401?4x401?4x00 ?In?1111111(?In?1) 4nI0??I1?11dx?ln5?0.402 1?4x4011(1?I0)?0.150, I2?(1?I)1?0.21344 11I3?(1?I2)?0.197, I4?(1?I)3?0.20144
此算法是数值稳定的。
1(?1)nen?In?In??(In?1?In?1)?...?ne044
应用数值分析(第四版)课后习题答案第1章
