由图可知CD?22vC aCn?CD （4）
C aCn aC tv CB ? ? B aC vB A vC 、（4）式得 2l，由（3）
aCn?22?l 8 （5）
其方向沿CD方向．
D 下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度aCt．因为BC是刚性杆，所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动，C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC．令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有
vCB?vC?vB
由几何关系得
22vCB?vB?vC?22vB? ?l22 （6）
由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度 因为CB?
其方向垂直杆CD.
由（2）式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为 ?aB?BC?aBcosπ
4aCB?22?l 42l，故有
aCB2vCB?CB （7）
（8）
（9）
所以C点相对A点（或D点）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量
aCt?aCB??aB?BC?322?l 4（10）
C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度aCn与切向加速度aCt
的合加速度，即
aC的方向与杆
CD间的夹角
22aC?aCn?aCt?742?l 8（11）
??arctanaCt?arctan6?80.54? aCn（12）
解法二：通过微商求C点加速度
以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay与AD垂直．任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆
y C B ? A ? ? D x 的位置分别用?，?和?表示，且已知AB?l，BC?d????，Cdt2l，CD?22l，AD?3l，
点坐标表示为
xC?lcos??2lcos? yC?lsin??2lsin?
（1） （2）
将（1）、（2）式对时间t求一阶微商，得
dxCd?d?????l?sin??2sin?? dtdtdt??dyCd?d????l?cos??2cos?? dtdtdt??（3） （4）
把（3）、（4）式对时间t求一阶微商，得 d2xCdt2??l?2??cos????d???dt???sin?d2??d??2d2??dt2?2cos???dt???2sin?dt2?? ?
d2y?d??2C?d2??d2d2??dt2?l???sin????dt???cos???dt2?2sin???dt???2cos?dt2?? ?根据几何关系，有
CDsin??ABsin??BCsin? CDcos??ABcos??BCcos??3l
即 22sin??sin??2sin?
22cos??3?cos??2cos?
将（7）、（8）式平方后相加且化简，得
2sin?sin??2cos?cos??3cos??32cos??2?0
对（9）式对时间t求一阶微商，代入??π2，??π4
，d?dt???，得
d?dt?12? 对（9）式对时间t求二阶微商，并代入上述数据，得
d2?3dt2?8?2 将（10）、（11）式以及?，?，d?dt的数值代入（5）、（6）式，得 d2xC52dt2??8l? d2yCdt2??78l?2 所以 22
a???d2xC??d2yC?742C?dt2?????dt2??l?8?
由图知，aC与x轴的夹角为?
（5） （6）
（7） （8）
（9）
10）
11）
12）
（（ （ 所以求得
?d2yC?tan???2??dt??d2xC?2?dt???1.4 ?（13）
??arctan1.4?54.46
这个夹角在第三象限，为234.46，故aC与CD的夹角
三、参考解答：
1．设a室中原有气体为?mol，打开K1后，有一部分空气进入a室，直到K1关闭时，a室中气体增加到??mol，设a室中增加的??????mol气体在进入容器前的体积为?V，气体进入a室的过程中，大气对这部分气体所作的功为
A?p0?V （1）
用T 表示K1关闭后a室中气体达到平衡时的温度，则a室中气体内能增加量为
?U???CV?T?T0? （2）
由热力学第一定律可知 （3） ?U?A 由理想气体状态方程，有
由以上各式解出
T?5?CV?R?5CV?4RT0
?=80.54 （14）
4p0V0??RT0 5p0?V???????RT0
（4） （5） （6）
p0V0???RT
（7）
2．K2打开后，a室中的气体向b室自由膨胀，因系统绝热又无外界做功，气体内能不变，所以温度不变（仍为T），而体积增大为原来的2倍．由状态方程知，气体压强变为
p?1p0 2（8）
关闭K2，两室中的气体状态相同，即
1pa?pb?p，Ta?Tb?T，Va?Vb?V0，且?a??b???
2（9）
拔掉销钉后，缓慢推动活塞B，压缩气体的过程为绝热过程，达到最终状
?、Va?、Vb?、Ta?、Tb?，则态时，设两室气体的压强、体积和温度分别为pa?、pb有
paVapbVbCV?RCV?Va??pa?Vb??pbCV?RCV
（10） （11）
CV?RCVCV?RCV由于隔板与容器内壁无摩擦，故有
由理想气体状态方程，则有 因
由（8）～（15）式可得
1Va??Vb??V0
2Ta??Tb??2T
RCV??pb? pa（12）
?Va???aRTa? pa?Vb???bRTb? pb（13） （14）
Va??Vb??V0
（15）
（16） （17）
在推动活塞压缩气体这一绝热过程中，隔板对a室气体作的功W等于a室中气体内能的增加，即
由（6）、（17）和（18）式得
R?CV?CVW??2?1?p0V0 ?2R???1W???CV?Ta??T?
2（18）
（19）
四、参考解答：
设某一时刻线框在磁场区域的深度为x?x?l1?，速度为v，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为Ev?vBl2，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又引起自感电动势．设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的
电动势Ev与设定的正方向相反，自感电动势EL??L?i与设定的正方向相同.
?tO x y l1v0l2x 因线框处于超导状态，电阻R?0，故有
即 或 即
可见i与x成线性关系，有
i??Bl2x?C LBl?i??2?xLBl2?x??L?i
EL?Ev??L?i?vBl2?iR?tL?i?x?Bl2?0 ?t?t （2）
（3）
（4）
（5）
C为一待定常数，注意到x?0时，i?0，可得C?0，故有
i??Bl2x L（6）
x?0时i?0，电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反，即在
线框进入磁场区域时右侧边的电流实际流向是向上的．外磁场作用于线框的安培力
第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷（含答案）
