11.3 随机事件的概率
核心考点·精准研析
考点一 互斥事件、对立事件的判断
1.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是
( )
A.恰有1个是奇数和全是奇数 B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C.至少有1个是奇数和全是奇数 D.至少有1个是偶数和全是奇数
2.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是 ( ) A.F与G互斥 B.E与G互斥但不对立 C.E,F,G任意两个事件均互斥 D.E与G对立
3.在下列六个事件中,随机事件的个数为 ( ) ①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签; ③没有水分,种子发芽;
④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫; ⑤在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾; ⑥同性电荷,相互排斥.
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”
的概率是,那么概率是的事件是 ( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
【解析】1.选A.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,共有三种情况:A={两个奇数},B={一个奇数一个偶数},C={两个偶数},且A,B,C两两互斥,所以A:是互斥事件,但不是对立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是对立事件.
2.选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A、C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确. 3.选A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.
4.选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.
定 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有义 且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件 法 集 ①若A,B满足A∩B=?,则A,B是互斥事件 合 法 ②若A,B满足,则A,B是对立事件 考点二 随机事件的频率与概率
【典例】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. 一次购物量 顾客数/人 结算时间/ 1 (分钟/人) (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 【解题导思】 序号 联想解题 1.5 2 2.5 3 1至4件 x 5至8件 30 9至12件 25 13至16件 y 17件及以上 10 (1)由“超过8件”占55%联想到“不超过8件” 占45%. (2)拆分为三个事件的和事件 【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,
所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间
的平均值可用样本平均数估计,其估计值为分钟.
=1.9
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顾客一次购物的结算时
间不超过2分钟的概率为
.
1.求复杂互斥事件概率的2种方法
(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和.
(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.
2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数.
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份
2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.3随机事件的概率练习新人教B版
