换元法在因式分解中的应用
因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。 例1.分解因式：?x?y??4?x?y??4 （济南市 2007）
2分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将x?y看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。
解：设x?y?u 原式?u2?4u?4 ??u?2?
2 ??x?y?2?
2例2.分解因式：4?3x2?x?1??x2?2x?3???4x2?x?4?
2分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：
4x2?x?4? 3x2?x?1?x2?2x?3，将其中两部分设为辅助元，则可以表示
????出第三部分。
解：设3x2?x?1?A，x2?2x?3?B,则4x2?x?4?A?B。
原式?4AB??A?B????A?B?
22???3x2?x?1?x2?2x?3????2x2?3x?2?
22使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。
第三章换元法在化简二次根式中的应用
在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，
这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。
3.1设元代数，化已知为未知
例3.若x?1?1?，求x2?1?x的值 2002???2?2002?分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。
1?1?11?1?2??x?1?y??y??0 解：设y?2002，则x??，，且y?????4?y?y2?y?21?1?1?1?1?1?1?1?????????y??y??y??y?原式? ????????4?y?2?y?2?y?2?y?2?y?2002
3.2设元代式，无理变有理
例4. 化简
aa?bba?ab（陕西省 2008）
分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设a?x，b?y，
x3?xy2x?x?y??x?y?原式?2 ?x?x?y?x?xy ?x?y?a?b
解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。
第四章换元法在解方程中的应用
除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程F?x??0的左端F?x?是一个复合函数：F?x??f?u?，u???x?，而方程f?u??0和u???x?是比较简单的方程，则可进行换元。令u???x?，这样
方程就转化为f?u??0，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。
4.1分式方程
形如af?x??b?c?0 f?x?b?c?0，即au2?bu?c?0 u令u?f?x?，原方程化为au??c?c2?4ab?c?c2?4ab 解得u?，原方程化为两个简单方程f?x1??，
2a2a?c?c2?4ab，注意检验根。 f?x2??2axx2?15?? 例5.解方程2x2x?1分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。
x15x2?11?u，则?，原方程化为u?? 解：设2u2x?1xu1，u2?2 21x1?，即x2?2x?1?0，解得x1?x2?1 当u1?时，有22x?12x?2，即2x2?x?2?0，无实数解 当u2?2时，有2x?1解得u1?经检验，x?1是原方程的解。
4.2一元二次方程
形如a?f?x???bf?x??c?0
2令u?f?x?，原方程化为一元二次方程ax2?bx?c?0
?c?c2?4ab?c?c2?4ab解得u?，原方程化为两个简单方程f?x1??，
2a2a?c?c2?4ab f?x2??2a
中考数学十大解题思路之换元法
