函数定义域、值域求法总结
1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。
2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 题型(一):已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a≤g(x)≤b的x的取值范围。
(题型二):已知f?gx?的定义域,求f(x)的定义域????
一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x
和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时，g(x)的取值范围。
(题型三):已知f??g?x???的定义域,求f?h(x)?的定义域
定义域是X的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 f?g?x???f?x??f?h(x)?
练习3:已知f?log3x?的定义域[3,9],求f(2x?1)的定义域
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一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )x0中x?0
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法
（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
11；② f(x)?3x?2；③ f(x)?x?1? x?22?x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
x?21而x?2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是?x|x?2?.
x?22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x?2无意义，
32而3x?2?0，即x??时，根式3x?2才有意义，
32∴这个函数的定义域是{x|x??}.
3① f(x)?③∵当x?1?0且2?x?0，即x??1且x?2时，根式x?1和分式∴这个函数的定义域是{x|x??1且x?2} 另解：要使函数有意义，必须： ?例2 求下列函数的定义域：
①f(x)?1 同时有意义， 2?x?x?1?0?x??1 ? ?
2?x?0x?2??x2?3x?4
x?1?24?x?1 ②f(x)?2 2
③f(x)?11?11?1x ④f(x)?(x?1)0x?x
⑤y?x?2?3?313x?7
2解：①要使函数有意义，必须：4?x?1 即： ?3?x?3
∴函数f(x)?4?x2?1的定义域为： [?3,3]
?x2?3x?4?0?x?4或x??1②要使函数有意义，必须：? ???x??3且x?1?x?1?2?0 ?x??3或?3?x??1或x?4
∴定义域为：{ x|x??3或?3?x??1或x?4}
?x?0??1?③要使函数有意义，必须： ?1??0 ?
x??1?1?01?1??x1 ∴函数的定义域为：{x|x?R且x?0,?1,?}
2④要使函数有意义，必须： ??x?0??x??1 ?x??1?2?x?1?0?x??1 ??
?x?0?x?x?0 ∴定义域为：?x|x??1或?1?x?0?
??x?2?3?0?x?R7 ⑤要使函数有意义，必须： ? ??x????3x?7?03?777即 x? ∴定义域为：{x|x??}
333例3 若函数y?ax2?ax?21的定义域是R，求实数a 的取值范围 a解：∵定义域是R,∴ax?ax?1?0恒成立， aa?0??1∴等价于??0?a?2 ??a2?4a??0?a?例4 若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)的定义域 1414 3
解：要使函数有意义，必须：
13??5?1?x??1??x???43344 ????x???31544??1?x??1???x?44??4∴函数y?f(x?)?f(x?)的定义域为：?x|?1414??33??x?? 44?例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]
内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1? x2≤1?－1≤x≤1
练习：设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域 解：要使函数有意义，必须：?3? ∵
x?2?2 得： ?1?x?2?2
x≥0 ∴ 0?x?2?2 0?x?6?42
∴ 函数f(x?2)的定域义为：x|0?x?6?42
??
例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
5已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。??,2）
2（提示：定义域是自变量x的取值范围） 练习：
已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若y?f?x?的定义域是?0,2?，则函数f?x?1??f?2x?1?的定义域是
（ ）
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Ａ．??1,1? 已知函数f?x??
Ｂ???11?,? ?22?
Ｃ．?,1?
2?1???
Ｄ．?0,?
2
（ ）
?1???1?x的定义域为Ａ，函数y?f??f?x???的定义域为Ｂ，则 1?xＡ．AUB?B Ｂ．B?A Ｃ．AIB?B Ｄ． A?B
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
22当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}.
4a4a例1 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1?x?1) ②f(x)??（ 1?x?3）③ y?x?23x1（记住图像） x解：①∵-1?x?1，∴-3?3x?3，
∴-1?3x+2?5，即-1?y?5，∴值域是[-1，5] ②略
③ 当x>0，∴y?x?121)?2?2， =(x?xx43当x<0时，y??(?x?121)?2??2 )=－(?x??x?x-612f?x? = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246∴值域是(??,?2]?[2，+?).（此法也称为配方法） 函数y?x?-41的图像为： x二次函数在区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
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1、函数定义域、值域求法总结
