22?1?dy?1dy??f?(0)??sinx?2????2??ydxydx????x?0?1.
【评注】也可利用y??ey?1?xey?1y??0两边对x求导得
y?1 y???ey?1y??ey?1y??xey?1y?2?xey??? 0可得y??(0).
21……【分析】由所证结论f??(?)?g??(?)可联想到构造辅助函数
F(x)?f(?x). g，然后根据题设条件利用罗尔定理证明(x【详解】令F(x)?f(x)?g(x)，则F(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且
F(a)?F(b)?0.
（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c)?g(c)?F(c)?0， 于是由罗尔定理可得，存在?1?(a,c),?2?(c,b)，使得
F?(?1)?F?(?2)?0.
再利用罗尔定理，可得 存在??(?1,?2)，使得F??(?)?0，即f??(?)?g??(?). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1)?g(c2)?M，于是
)? F(c1f(1c)?g(1c?)0,F2(c?)f2(c?)g2(c?，)
0 于是由零值定理可得，存在c3?(c1,c2)，使得F(c3)?0 于是由罗尔定理可得，存在?1?(a,c3),?2?(c3,b)，使得
F?(?1)?F?(?2)?0.
再利用罗尔定理，可得 ，存在??(?1,?2)，使得F??(?)?0，即f??(?)?g??(?). 【评注】对命题为f(n)(?)?0的证明，一般利用以下两种方法：
(n?1)方法一：验证?为f(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马
定理可得证；
方法二：验证f(n?1)(x)在包含x??于其内的区间上满足罗尔定理条件.
22…..【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.
【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以
??Df(x,y)d????D1f(x,y)d?，其中D1为D在第一象限内的部分.
而
??D1f(x,y)d????x?y?1,x?0,y?0xd??2??1?x?y?2,x?0,y?01x?y22d?
??10dx??x0?12?xxdy???dx?1?x?0?21x?y22dy??21dx?2?x0?dy? 22?x?y?1?1122ln1??2.
? 所以
??Df(x,y)d??13?42ln1??2.
?【评注】被积函数包含x2?y2时, 可考虑用极坐标，解答如下：
??1?x?y?2x?0,y?0f(x,y)d????1?x?y?2x?0,y?01x?y222d?
???20d??sin??cos?1sin??cos?dr
?2ln(1?2).
23……【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组
?x1??x1??x1?x?1?x2?x3?0?2x2?ax3?0?4x2?ax3?0?2x2?x3?a?12
其系数矩阵
?1?1A???1??112421aa210??1??00????00???a?1??011311a?1a?1020??0?. 0??a?1?
?1?0???0??0110021a?1a?3a?21?a0??1??00????00???a?1??011001a?11?a(a?1)(a?2)0??0?. a?1??0?显然，当a?1,a?2时无公共解.
当a?1时，可求得公共解为 ??k?1,0?,当a?2时，可求得公共解为 ???0,1?,?1,k为任意常数；
TT?1.
【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.
（24） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.
【详解】（I）B?1??A5?4A3?E??1??15?1?4?13?1??1???15?4?13?1??1??2?1， 则?1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得
B?2???25?4?23?1??2??2，B?3???35?4?33?1??3??3. 所以B的全部特征值为2，1，1
T 设B的属于1的特征向量为?2?(x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不
同特征值所对应的特征向量正交，可得
?1?2?0.
T 即 x1?x2?x3?0，解方程组可得B的属于1的特征向量
TT ?2?k1(1,0,?1)?k2(0,1,0)，其中k1,k2为不全为零的任意常数.
T 由前可知B的属于－2的特征向量为 k3(1,?1,1)，其中k3不为零.
?1?（II）令P?0???1?0101??1??-1?1，由（Ⅰ）可得PBP?0????01??1?1??01.
?10??0100??0，则 ??2???0? B?1???1?【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax??x的形式. 请记住以下结论：
（1）设?是方阵A的特征值，则kA,aA?bE,A2,f(A),A?1,A*分别有特征值 1A2 k?,a??b,?,f(?),,??可逆），且对应的特征向量是相同的. A( （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的
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