中考复习之专题六 统计与概率
知识点1、调查收集数据过程的一般步骤 调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
知识点2、调查收集数据的方法 普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
知识点3、统计图 条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． 知识点4、总体、个体、样本、样本容量
我们把所要考查的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考查对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量． 知识点5、简单的随机抽样
用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．
知识点6、频数、频率 在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率． 知识点7、绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图． 知识点8、平均数 在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数．
知识点9、中位数 将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
知识点10、众数 在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．
知识点11、加权平均数． 在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
知识点12、极差 一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差．
知识点13、方差： 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是
是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
知识点14、标准差： 一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差． 用公式可表示为：
教学准备
知识点15、确定事件
那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
知识点16、随机事件 无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件． 知识点17、概率 表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率． 知识点18、概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法．
例1. 为了了解某区九年级7000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重，就这个问题来说，下面
例题精讲
说法正确的是（ ）
A. 7000名学生是总体 B. 每个学生是个体 C. 500名学生是所抽取的一个样本 D. 样本容量为500
分析：这个问题主要考查学生对总体、个体、样本、样本容量概念的理解。此题学生容易把研究对象的载体（学生）当作研究对象（体重）。解：D。
例2. 下面两幅统计图（如图1、图2），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况。请你通过图中信息回答下面的问题。
⑴通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论；⑵通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论；
⑶2007年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？分析：此题就是考查学生的读图、识图的能力。从统计图中处理数据的情况一般有以下几种：一、分析数据的大小情况；二、分析数据所占的比例；三、分析数据的增加、减少等趋势或波动情况。
解：⑴2001年至2007年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快；⑵甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多；⑶
（人）。答：2007年两所中学的学生参加科技活动的总人数是
1423人。说明：⑴本题是利用折线统计图和扇形统计图展示数据，折线统计图清楚地反映参加课外活动人数的变化情况，扇形统计图清楚地表示出参加课外活动人数占总人数的比例。
⑵从折线统计图可获得2007年甲校参加课外活动人数为2000人，乙校为1105人，再根据扇形统计图参加各类活动人数的百分比即可算出参加各类活动的人数。这里着重考查了学生的读图能力。
例3. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下： 次数 人数 6 1 12 1 15 7 18 18 20 10 25 5 27 2 30 2 32 1 35 1 36 2 ⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？ 分析：本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准中的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数
解：⑴该组数据的平均数
众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多少人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为82%。
说明：本题不仅有很强的现实性和很好的问题背景，而且联系学生的生活实际，易引起学生的解题兴趣，既可以有效地考查学生对统计量的计算，又将关注的重点转变为结合学生实际问题进行定量和定性分析，进而整理数据、分析数据、做出判断、预测、估计和决策，突出了题目的教育价值。
例4. 某校为了了解初一年级的学习状况，在这个年级抽取了50名学生，对数学学科进行测试，将所得成绩整理，分成五组，列表如下。试问：（1）成绩在90分以上的频率是_0.42______。（2）成绩优秀的人数有_38______人（80分以上为优秀），占总人数的___76%_______（3）及格的人数有__48___人，及格率是_96%____。
分 组 49.5～59.5 59.5～ 69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5 频 率 0.04 0.04 0.16 0.34 例5. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8、3.2、3.4、3.7、3.0、3.1，试估计该商场4月份的营业额大约是_____
解：抽查的这6天的营业额相当于一个样本，由样本的6个数据可求出样本平均数，由此估计总体的平均数（4月份30天），然后用这个平均数乘以30，即得4月份的总营业额。
∵＝1/6（2.8＋3.2＋3.4＋3.7＋3.0＋3.1）＝3.2 3.2×30＝96（万元）
例6. 口袋中有15个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球。甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜。则当x＝_3___时，游戏对甲乙双方公平。
解：略
例7. 某风景区对5个旅游景点的门票进行了调整，据统计调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：
景点 原价（元） 现价（元） 平均日人数（千人） A 10 5 1 B 10 5 1 C 15 15 2 D 20 25 3 E 25 30 2 （1）该风景区称调价前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个说法较能反映整体实际？
解：（1）风景区是这样计算的：（10＋10＋15＋20＋25）/5＝16（元）。
调整后的平均价格（5＋5＋15＋25＋30）/5＝16（元）调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，因而平均日总收入持平。（2）游客是这样计算的：
原平均日总收入10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160（千元）， 现平均日总收入5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元）
所以，平均日总收入增加了（175－160）/160≈9.4%（3）游客的说法较能反映整体实际。
例8. 一个口袋中有4个红球，3个黑球，2个白球，如果小明邀请小华玩一个“摸球”游戏，游戏的规则是：摸出一个红球，小华赢得1分；摸出其它球，小明赢得1分，这个游戏公平吗？
分析：口袋中共有9个球，每个球被摸到的可能性相同，都为1/9，然后根椐规则计算双方获胜的机会大小，若相同，则公平，若不相同，则不公平。
解：小华赢的可能性为1/9＋1/9＋1/9＋1/9＝4/9，
小明赢的可能性为1/9＋1/9＋1/9＋1/9＋1/9＝5/9 5/9＞4/9，小明获胜机会大。
例9. 为了了解某地区职工的收入状况，对某一中学九年级的全部学生家长进行统计调查，你认为调查结果有普遍代表性吗？为什么？
解：这样抽查是不合适的，没有普遍代表性。虽然调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学生的学生家长，所以调查结果不能推广到所在地区的所有职工的收入状况。
反思总结：这个实例告诉同学们，随机抽样时，要留意样本在总体中是否具有代表性。样本的选取不仅容量要足够大，更要避免遗漏某一群体。
例10. 某饮食店认真统计了一周中各种点心的销售情况，统计结果如下表所示。你认为这样的统计对该店的管理人员有用吗？请说明你的理由。
一周中各种点心的销售情况统计表
点心种类 销售数量 拉面 650（碗） 包子 豆浆 油条 馄饨 14000（个） 5400（碗） 8600（根） 4550（碗） 解：如果这是普通的一周，表中的统计结果将对该店的管理人员的决策有用。因为这些数据可以帮助管理人员进行原料预算、安排服务人员、设施准备，从而提高服务质量、减少浪费。如果是特殊的一周（如有特别会议），表中的数字没有多大参考价值。反思总结：用样本估计总体时，应注意样本的代表性。
例11. 从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的9张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率；⑴抽得偶数；⑵抽得3的倍数；⑶抽得不是合数。
解：⑴中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有2、4、6、8共4个，所以P（抽得偶数）＝
⑵中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有3、6、9共3个，所以P（抽得3的倍数）＝⑶中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有1、2、3、5、7、共5个，所以P（抽得不是合数）＝
。
。。
例12. 某校九年级8名数学教师，拟从4名学生中选拔2名参加全国数学竞赛，为了使所选拔的学生符合多数教师的意愿，请你帮助设计一个选拔方案，说明调查和决策的方法。
分析：由于8名数学教师人数较少，可采用问卷调查的方式，用唱票或赋分的方式解决。
解：对8名数学教师进行问卷，用唱票的方法，统计4名学生的得票，取前两名；或用赋分的方法，每位老师对4名学生排序，第一名计5分，第二名计3分，第三名计2分，第四名计1分，每位学生所得分相加，前两名学生入选。方法技巧：对调查收集到的数据有时可用几种方式加以整理，其中赋分法是常用的一种方法。 例13. 小明的爸爸买天天彩的时候，特地查询了前8期的中奖号码，分别是：296、972、627、379、176、461、078、208，认为下一期的中奖号码中含9的可能性非常大，你同意吗？说说你的理由。你有何感想？
分析：彩票摇奖时各数字出现的概率相同，不存在数字出现机会大小的问题。 解：不同意，因为每次摇奖时，各数字出现的概率是相同的。 反思：正确看待彩票问题，不能沉迷其中。
课后练习
一. 选择题
1. 下列事件必然发生的是（ ）
A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19 B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。 C. 今天下雨。
D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。
2. 样本：7，12，11，10，13，8，7，14，9，10，8，11，10，8，10，9，12，9，13，11。那么这组数据落在范围8.5～11.5内的频率应该是（ ）
A. 0.65 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 3. 假如你想知道自己的步长，那么你调查的问题是（ ）
A. 我自己 B. 我每跨一步平均长度为多少？ C. 步长 D. 我走几步的长度
4. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（ ）
A. 甲袋 B. 乙袋 C. 两个都一样 D. 两个都不行 5. 下列事件中，属于确定事件的是（ ） A. 发射运载火箭成功 B. 2008年，中国女足取得冠军
C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D. 掷骰子时，点数“6”朝上
6. 下列事件中，属于不确定的事件的是（ ） A. 英文字母共28个
B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖
C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9 D. 哈尔滨的冬天会下雪
7. 下列事件中属于不可能的事件是（ ）
A. 军训时某同学打靶击中靶心 B. 对于有理数x，∣x∣≤0 C. 一年中有365天 D. 你将来长到4米高
8. 教科书中的“抢32”游戏，其他规则不变，那么采取适当策略，结果是（ ） A. 先报数者胜 B. 后报数者胜 C. 两者都可能胜 D. 很难判断
9. 在一次向“希望工程”捐款的活动中，若已知小明的捐款数比他所在的学习小组中13人捐款的平均数多2元，则下列判断中，正确的是（ ）
A. 小明在小组的捐款中不可能是最多的 B. 小明在小组的捐款中可能排在第12位。
C. 小明在小组的捐款中可能是最少的。 D. 小明在小组的捐款中不可能比捐款数排在第7位的同学少。 10. 某班一次语文测试的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人，得90分的6人，得80分的12人，得70分的16人，得60分的5人，则该班这次语文测试的众数是（ ）
A. 80分 B. 70分 C. 16人 D. 10人 11. 5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据唯一的众数是6，则这5个整数可能的最大和是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
12. 一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25， 那么袋子中共有球的个数为（ ）
A. 15 B. 18 C. 20 D. 25
13. 在一副没有大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到10的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 小明掷一枚硬币玩游戏，一连5次都掷出正面朝上，请问他第6次掷硬币时正面朝上的概率为（ ） A. 1
B. 0
C.
D. 不确定
15. 老师从小明、小刚、小红三位同学中选一名同学参加数学竞赛，则小刚选不上的概率为（ ）
中考复习专题六-统计与概率(解析版)
