答案：A
【18】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）． A．2:1 B．1:2 C．3:1 D．1:3
DMCEGFB
答案：A
A第19题图
六．折叠和剪切的应用
【19】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5； （2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由. 答案：（1）先求出DE=
135AD，DM?AD，EM?AD后证之.
288（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上
的位置无关.
【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少? 答案：2∶1.
【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. E A M D A M B B C C 图1 图2 图3 图4
第21题图
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(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程x2?(m?1)x?m?1?0的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
答案：（1）如图
A
M
E
A
M
E B
图3
C
第21题答案图
B
图4
C
（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE
∴BC＝2AB， 即b?2a
由题意知 a,2a是方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根 ∴??a?2a?m?1
a?2a?m?1?消去a，得 2m2?13m?7?0
1解得 m?7或m??
2131经检验：由于当m??，a?2a???0，知m??不符合题意，舍去.
222m?7符合题意.
∴S矩形?ab?m?1?8
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
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答案：可以切割出66个小正方形。 方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。
∵AB＝1 BC＝10
∴对角线AC＝100＋1＝101＜10.05 （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
22EABFHDCG
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为
22229，高为3，对角线EG?9?3?81?9?90＜10.05。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
102?32?100?9?109＞10.052
222（3）同理：8?5?64?25?89＜10.05
9?5?81?25?106＞10.05
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。
（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
222∵7?7?49?49?98＜10.05
22282?72?64?49?113＞10.052
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（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。
222∵4?9?16?81?97＜10.05
52?92?25?81?106＞10.052
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）
【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
H F D A D A
G E
B B E C C F
答案：（方案一）
（方案一）
第23题图
（方案二）
S菱形?S矩形?4S?AEH
15
?12?5?4??6?222 ?30(cm) （方案二）
设BE=x，则CE=12-x
?AE?BE2?AB2?25?x2 由AECF是菱形，则AE=CE
2
2
?25?x2?(12?x)2
?x?119 24第 9 页 共 12 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
S菱形=S矩形?2S?ABE ?12?5?2??5? ?35.21(m)
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.
【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
第24题图（1）
仿上面图示的方法，及韦达下列问题： 操作设计： （1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 第24题图（2） 第24题图（3） （2）如图（ 3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。 答案：（1） 方法一： 方法二：
第24题答案图（1） 第24题答案图（2）
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中考数学创新题集锦（含答案）
