§8.3 圆的方程
圆的定义与方程
定义标准式
方程
一般式
半径r＝
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)半径为r
充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：－，－
2212(DE)D2＋E2－4F
概念方法微思考
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示 Error!
2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示 点和圆的位置关系有三种．
已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) 0＋y20＋Dx＋Ey＋F>0.( √ )(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x200 (4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )题组二 教材改编 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案 D 解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A 4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案 (x－2)2＋y2＝10解析 设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即?a＋1?2＋1＝?a－1?2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝?2＋1?2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三 易错自纠 5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B 解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋ m2 由其表示圆可得 4 －2>0，解得m<－22或m>22. B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 ()2 mm24－2. 2＋(y－1)2＝ 6．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________．答案 (x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9 解析 由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9. 7．已知实数x，y满足方程x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值是________，最小值是________．答案 10 0 解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x－2y＝b，即x－2y－b＝0，作出圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5与一组平行线x－2y－b＝0，如图所示，当直1 线x－2y－b＝0与圆相切时，在y轴上的截距－b取得最大值或最小值，此时圆心到直线的 2 |1－2×?－2?－b| 距离d＝ 1＋4 ＝5，解得b＝10或b＝0， 所以x－2y的最大值为10，最小值为0. 圆的方程 1．(2019·西安模拟)已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________________．答案 (x－3)2＋(y－2)2＝13 5－0解析 方法一 (几何法)kAB＝＝－1， 1－657 则AB的垂直平分线方程为y－＝x－， 22即x－y－1＝0，联立方程Error!解得Error!r＝?6－3?2＋?0－2?2＝13， 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心) 方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得Error!解得Error! 故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13. 2．已知圆心在x轴上，半径为5的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________．答案 (x－25)2＋y2＝5 解析 根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则5|a＋2×0| 圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a. 12＋225又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得程为(x－2 5)2＋y2＝5. 12＋ ()5a 52＝5，解得a＝25.故圆的方 3．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值是________．答案 7 解析 四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则Error!解得Error! 25 所以圆的方程为 x2＋y2－4x－ 3 y－5＝0， 将D(a,3)代入得a2－4a－21＝0.解得a＝7或a＝－3(舍)． 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 与圆有关的轨迹问题 例1 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1， y 又kAC＝ yyy ，kBC＝，所以·＝－1，x＋1x－3x＋1x－3 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 1 方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝ 22.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． x0＋3 (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝， 2y0＋0y＝， 2 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程． ④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 跟踪训练1 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解 如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段OP的中点坐标为，， 22线段MN的中点坐标为 ()xy (x0－32，y0＋42 ).
2021新高考版大一轮复习用书数学第八章 8.3
