【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a， 其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增． 因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值， 结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足： f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0， 整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2）， 故答案为：（1，2）
【点评】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）经过点A（4，
0），其离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝轴的距离．
【分析】（1）椭圆E经过点A（4，0），可得 a＝4． 椭圆E的离心率e＝＝c＝2
． 即可得椭圆E的方程．
可得
，求点P到y
（2）：由∠F1PF2＝，所以?
＝0，可得x2+y2＝12． 由
，得P
到y轴的距离．
【解答】解（1）因为椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），
所以 a＝4． …………………（2分） 又椭圆E的离心率e＝＝所以b2＝a2﹣c2＝4．
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，所以c＝2． …………………（4分）
因此椭圆E的方程为 …………………（6分）
（2）：由椭圆E的方程为因为∠F1PF2＝
，所以
?
．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．
＝0，所以x2+y2＝12． …………………（10分）
由
解得x2＝
． …………………（12分）
所以|x|＝，即P到y轴的距离为． …………………（14分）
【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题． 16．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；
（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．
，侧棱长为1，求：
【分析】（1）以 {
，
，
} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量
法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值．
（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值． 【解答】（本题满分14分）
解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 故以 {
，
，
，侧棱长为1，
} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz． ，0，0），A1（
，0，1），
则D（0，0，0），A（C（0，（1）因为
，0），D1（0，0，1）．
＝（0，
，0）﹣（
，0，1）＝（﹣
，
，﹣1），
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＝（0，0，1）﹣（所以|
|＝
＝（﹣＝
，|
，0，0）＝（﹣）×（﹣
|＝
，0，1），……………（2分）
）+（﹣1）×1＝1， ＝
，
从而 cos＜（5分）
＞＝＝＝． …………………
又异面直线所成的角的范围是（0，]，
． …………………（6分） ，0，1），
所以直线A1C与直线AD1所成角的余弦值为（2）
＝（﹣
，
，0），
＝（﹣
设平面D1AC的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则分）
在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DA⊥平面ABB1A1， 又
＝（
，0，0）＝
（1，0，0），
，取x＝1，可得＝（1，1，
）． …………………（9
所以＝（1，0，0）为平面ABB1A1的一个法向量． …………………（11分） 因为cos＜，＞＝
＝
＝，且0≤＜，＞≤π，
所以＜＞＝．
．…………………（14分）
因此平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为
第13页（共21页）
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．
【分析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；
（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB＝
，
求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 则
，解得
，
所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0． 方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 令y＝0，得x2+Dx+F＝0．
因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，
第14页（共21页）
所以 x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解， 所以D＝﹣1，F＝﹣6． 因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．
因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），
又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5． 所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．
（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝故圆心C（，﹣），半径r＝
．
． ，
因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝所以C到直线l的距离d＝
×
＝．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，
所以＝，解得k＝﹣，
所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0． 综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V． （1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求两个圆柱体积之和V的最大值．
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2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
