【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的 必要不充分 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 【分析】由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：“m＞0”与“
”的关系
， ，再判断
【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：又“m＞0”是“
”的必要不充分条件，
所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分
【点评】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题． 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
．
【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：双曲线
﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），
﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为
双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0， 则点到直线的距离公式d＝故答案为：
．
＝
，
【点评】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，
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比较基础．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足＝15，则PO的最大值是 3【分析】设P（x，y），由
? ．
＝15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2
为半?
径的圆，得PO的最大值为|OC|+半径． 【解答】解：设P（x，y），则∵
?
＝（4﹣x，﹣y），
＝（﹣x，2﹣y）
＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，
即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，
∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3故答案为：3
．
．
为半径的圆，
【点评】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左、
右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 （﹣1，1） ．
），B（c，﹣
），由△AF1B
【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，
是锐角三角形，知tanAF1F2＜1，所以＜1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，
过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点， ∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，∵△AF1B是锐角三角形，
∴∠AF1F2＜45°，∴tan∠AF1F2＜1，
），B（c，﹣
），
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∴＜1，
整理，得b2＜2ac， ∴a2﹣c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0， 解得e＞
﹣1，或e＜﹣
﹣1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（故答案为：（
﹣1，1）．
﹣1，1）．
【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2
﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是 [﹣2，1] ．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2， 若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9， 变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0， 解可得：﹣2≤a≤1， 即a的取值范围为[﹣2，1]； 故答案为：[﹣2，1]．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题． 12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，MN⊥AD，则实数λ＝ 4 ．
＝λ
．若
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【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝2，则A（B（0，
，0），
，0），设N（0，b，0），则
＝，0），
，∴b＝＝（﹣
，
＝（0，b﹣
， ，﹣
），
＝（﹣
，
，0），
，0，0），D（0，﹣
，0），P（0，0，
），M（
，0，
），
＝（0，﹣2∵
＝λ
，∴﹣2
∴N（0，0），
∵MN⊥AD，∴解得实数λ＝4． 故答案为：4．
＝1﹣＝0，
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是 3 ．
【分析】设P（x，y），可得y2＝2x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值．
【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，
圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1， |PB|＝
＝
＝
＝|x|，
即|PB|为P到y轴的距离，过P作准线的垂线，垂足为K， 抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣， 可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK|﹣＝|PA|+|PF|﹣， 可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|＝， 即有|PA|+|PB|的最小值为3． 故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【分析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．
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2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
