备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇
专题二 直接讨论法
一、问题指引
所谓直接讨论法，就是对题中给定的函数，直接求导，通过对参数的分类讨论，确定函数的单调性，从而求出参数取值范围.
二、方法详解 (一)步骤
(1)首先可以把含参不等式整理成适当形式如f(x,a)?0、f(x,a)?0等； (2)从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； (3)得出结论.
（二）不等式类型与最值的关系
（三）题型归纳
类型一、直接构造函数，导函数的零点在不在定义域内引起的分类讨论， 【例1】已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x. (1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
a＋2x2x－4a
【解析】(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝，当a＝－4时，f′(x)＝.
xxx∴当0
a＋2x
， x
∴（1）当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； aa
－，＋∞?上单调递增； （2）当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，∴f(x)在??2?2aa
0，－?上单调递减． 由f′(x)<0得，x<－，∴f(x)在?2??2aaa－?＝aln(?)＋2?－?. ∴当a<0时，f(x)的最小值为f??2??2?2aaa－?＝aln(?)＋2?－?≥－a，即a[ln(?a)?ln2]≥0. 根据题意得f??2??2?2∵a<0，∴ln(?a)?ln2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2，0)． 【类题展示】已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)． (1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x<0，不等式x2＋(m＋2)x>f′(x)恒成立，求m的取值范围． 【解析】(1)m＝－1时，f(x)＝(1－x)ex＋x2，则f′(x)＝x(2－ex)， 由f′(x)>0，得0
当m>1时，h(x)在(－∞，－ln m)上为减函数，在(－ln m,0)上为增函数， ∴h(－ln m) 类型二：直接构造形如f?x,a?的二次函数，根据对称轴与给定区间的位置关系进行讨论 【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10。 (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程。 (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围。 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋10，所以f′(x)＝3x2－2x。所以k＝f′(2)＝8。 又f(2)＝14，所以切线方程为y＝8x－2。 2ax－?。 (2) f′(x)＝3x2－2ax＝3x??3?23 ①当a≤1，即a≤时，x∈[1,2]，f′(x)≥0，f(x)在[1,2]为增函数，故f(x)min＝f(1)＝11－a， 323 所以11－a<0?a>11，与a≤矛盾； 2 2a2a2a3 1，?，f′(x)<0；x∈?，2?，f′(x)>0， ②当1<<2，即 35×272a?43433 所以当f(x)min＝f?＝－a＋10时，只需－a＋10<0得a> >3，这与 ③当≥2即a≥3时，x∈[1,2]，f′(x)≤0，f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝18－4a， 39 所以18－4a<0?a>符合a≥3。 29 ，＋∞?。 综上所述，a的取值范围是??2? 【例3】若x∈[－2,2]时，不等式x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】根据对称性x=与区间的位置关系分3类讨论。 【解析】令f(x)＝x2＋ax＋3－a，问题转化为f(x)≥0在 x∈[－2,2]上恒成立， 则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)． a7 (1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在； 23 a?aa2?(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f?－2?＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； 24a (3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4， 2综上得－7≤a≤2. 【类题展示】已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，若f?x???1，求a的取值范围． 【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.不满足题意。 1 (2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝. a1 ①当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]内， a 111121 ∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增．∴f(x)min＝f()＝－＝－??1,满足题意 aaaaaa1 ②当>1，即0 a∴f(x)min＝f(1)＝a－2??1.不满足题意。 1 (3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， a∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2??2.不满足题意。. 综上可得a?1。 类型三：直接构造函数，导函数f??x?两个极值点的大小引起分类讨论 【例4】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 【解析】(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2， 则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1. 令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2. ① 若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0， 即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)． 而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ② 若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ③ 若k＞e2，则F(－2)＝－2ke2＋2＝－2e2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上，k的取值范围是[1，e2]． 【例5】【山东省济宁市2020届高三模拟】已知函数??(??)=ln???2????,??∈??． (1)求函数??(??)的单调区间； (2)若不等式??(??)1时恒成立，求??的取值范围． － － － 【解析】（1）??′(??)=?2??= ?? 11?2?????? ,(??>0)， ①若??≤0，??′(??)>0，??(??)在(0,+∞)上单调递增； ②若??>0,当00，当??>2??时，??′(??)<0， 所以(0,2??)是函数??(??)的单调递增区间，(2??,+∞)是函数??(??)的单调减区间， 综上所述，当??≤0时，??(??)的单调递增区间为(0,+∞)； 当??>0时，??(??)的单调递增区间为(0,2??)，单调递减区间为(2??,+∞)。 （2）由题意可知，不等式可转化为ln??+????2?(2??+1)??<0在??>1时恒成立， 令??(??)=ln??+????2?(2??+1)??，??>1，??′(??)=??+2?????(2??+1)=①若??≤0，则??′(??)<0，??(??)在(1,+∞)上单调递减， 所以??(??) 12?? 1 (2?????1)(???1) ?? 1 1 1 1 1 1 ， >1，当1 12??1 时，??′(??)<0，当??> 12?? 时，??′(??)>0， ??(??)在(1，)上单调递减，??(??)在(2??，+∞)上单调递增， 2?? 1 1 所以??(??)∈[??(),+∞)，不符合题意； 2?? ③若??≥2，当??>1时，??′(??)>0，??(??)在(1,+∞)上单调递增， 所以??(??)∈(??(1)，+∞)，不符合题意； 综上所述，?1≤??≤0。 【类题展示】【东北三省三校2020届高三模拟】已知函数f(x)?x?xlnx，??(??)=????2?2(???1)??+???1. （Ⅰ）求证：曲线??=??(??)与??=??(??)在(1,1)处的切线重合； （Ⅰ）若??(??)≤??(??)对任意??∈[1,+∞)恒成立，求实数??的取值范围. 【解析】证明:(Ⅰ)??′(??)=2+ln??,??′(1)=2,??(1)=1，??=??(??)在（1,1）处的切线方程为??=2???1，??′(??)=2?????2(???1),??′(1)=2,??(1)=1，??=??(??)在（1,1）处的切线方程为??=2???1 所以曲线??=??(??)与??=??(??)在(1,1)处的切线重合。 （Ⅰ）（方法1）：令??(??)=??(??)???(??)=????2?2(???1)??+???1??????ln??（??≥1) ??′(??)=2??(???1)?ln?? ①当??≤0时，??′(??)≤0，当且仅当??=1时取“=”， ??(??)在[1,+∞)递减，??(??)≤??(1)=0，??(??)≤??(??)不恒成立. 1
2020年新高考新题型多项选择题专项训练-专题02 直接讨论法(解析版)
