∴sin α=
4353
,sin(α+β)=, 714
1
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=.
2ππ
∵0<β<,∴β=.
23ππ
[答案] (1) (2) 43
[方法技巧]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角.
[对点练清]
1.[变条件]若本例(1)中“sin α”变为“cos α”,“sin β ”变为“cos β ”,则α-β=________. 解析:∵α,β均为锐角,∴sin α=+
53102×=. 5102
π又∵sin α 2π ∴-<α-β<0, 2π 故α-β=-. 4π 答案:- 4 113π2.[变条件]若本例(2)变为:已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 71421π 解:由cos α=,0<α<, 72得sin α=1-cos2α= 1?2431-??7?=7. 53102510,sin β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×510510 ππ 由0<β<α<,得0<α-β<. 2213 又因为cos(α-β)=, 14 所以sin(α-β)=1-cos2?α-β?= 由β=α-(α-β)得 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 13?2331-??14?=14. 11343331=×+×=, 7147142π所以β=. 3 [课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题 1.下列式子中,正确的个数为( ) π +α?=sin α; ①cos(α-β)=cos α-cos β;②cos?2??③cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. A.0 C.2 解析:选A 三个式子均不正确. 2.cos 20°=( ) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°+sin 30°cos 10° 解析:选B cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. 13 3.sin 15°-cos 15°的值是( ) 22A.C.2 26 2 B.-D.- 2 26 2 B.1 D.3 解析:选B 原式=sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15° =-(cos 30°cos 15°-sin 30°sin 15°) =-cos(30°+15°)=-cos 45°=- 2. 2 4. 2 (cos 75°+sin 75°)=________. 2 3. 2 解析:原式=cos 45°cos 75°+sin 45°sin 75°=cos(75°-45°)=cos 30°=答案: 二、创新应用题 π2π4 ,π?,且sin x=,求2cos?x-?+2cos x的值. 5.若x∈?3 2 ?2?5?3?解:因为x∈?π?2,π??,sin x=435,所以cos x=-5. 所以2cos??x-2π 3??+2cos x =2?? cos xcos2π2π 3+sin xsin3??+2cos x =2??-12cos x+32sin x??+2cos x=3sin x+cos x = 43345-5=3-3 5 . [课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练 1.cos 165°的值是( ) A.6-2 2 B.6+2 2 C.6-2 D. -6-2 4 4 解析:选D cos 165°=cos(180°-15°) =-cos 15°=-cos(45°-30°) =-cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30° =- 2322×2-2×1-6-22=4 . 2.已知点P(1,2)是角α终边上一点,则cos?π?6+α??等于( A.3+66 B.3-66 C.-3+66 D. 6-3 6 解析:选B 由题意可得sin α= 63,cos α=33 , ) πππ33163-6+α?=cos cos α-sin sin α=×-×=则cos?. ?6?6623236α4αα4α 3.若α∈[0,π],sinsin+coscos=0,则α的值是( ) 3333π A. 6πC. 3 πB. 4πD. 2 4αα?4αα4αα 解析:选D 由已知得coscos+sinsin=0,即cos??3-3?=cos α=0,又α∈[0,π],所以α=3333π. 2 4.函数f(x)=cos x·(1+3tan x)的最小正周期为( ) A.2π 3πC. 2 sin x?1+3·解析:选A f(x)=cos x·?cos x? ?cos x+3sin x =cos x· cos xππ cos xcos+sin xsin? =2?33??π x-?,∴T=2π. =2cos??3?5.在△ABC中,若sin Asin C B.直角三角形 D.不确定 B.π π D. 2 解析:选C 因为sin Asin C 6.设α,β为钝角,且sin α=3πA. 47πC. 4 解析:选C 因为α,β为钝角,sin α=所以cos α=-1-sin2α =- 1- 5310,cos β=-,则α+β的值为( ) 510 5π B. 4D. 5π7π或 44 5, 5 ?5?2=-25. 5?5?310 由cos β=-,得 10
8.2三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦新教材教师用书新素养
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