8.2三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦新教材教师用书新素养

∴sin α＝

4353

，sin(α＋β)＝， 714

1

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.

2ππ

∵0<β<，∴β＝.

23ππ

[答案] (1) (2) 43

[方法技巧]

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．

[对点练清]

1．[变条件]若本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________. 解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝＋

53102×＝. 5102

π又∵sin α

2π

∴－<α－β<0，

2π

故α－β＝－.

4π

答案：－

4

113π2．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

71421π

解：由cos α＝，0<α<，

72得sin α＝1－cos2α＝

1?2431－??7?＝7.

53102510，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×510510

ππ

由0<β<α<，得0<α－β<.

2213

又因为cos(α－β)＝，

14

所以sin(α－β)＝1－cos2?α－β?＝ 由β＝α－(α－β)得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

13?2331－??14?＝14.

11343331＝×＋×＝， 7147142π所以β＝.

3

[课堂一刻钟巩固训练]

一、基础经典题

1．下列式子中，正确的个数为( )

π

＋α?＝sin α； ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos?2??③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A．0 C．2

解析：选A 三个式子均不正确． 2．cos 20°＝( )

A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．sin 30°cos 10°＋sin 30°cos 10°

解析：选B cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°. 13

3.sin 15°－cos 15°的值是( ) 22A.C.2 26 2

B．－D．－

2 26 2

B．1 D．3

解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－

2. 2

4.

2

(cos 75°＋sin 75°)＝________. 2

3. 2

解析：原式＝cos 45°cos 75°＋sin 45°sin 75°＝cos(75°－45°)＝cos 30°＝答案：

二、创新应用题

π2π4

，π?，且sin x＝，求2cos?x－?＋2cos x的值． 5．若x∈?3 2

?2?5?3?解：因为x∈?π?2，π??，sin x＝435，所以cos x＝－5. 所以2cos??x－2π

3??＋2cos x ＝2??

cos xcos2π2π

3＋sin xsin3??＋2cos x ＝2??－12cos x＋32sin x??＋2cos x＝3sin x＋cos x

＝

43345－5＝3－3

5

. [课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练 1．cos 165°的值是( ) A.6－2

2 B.6＋2

2 C.6－2

D．

－6－2

4

4

解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－

2322×2－2×1－6－22＝4

. 2．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos?π?6＋α??等于( A.3＋66

B.3－66 C．－3＋66

D．

6－3

6

解析：选B 由题意可得sin α＝

63，cos α＝33

， )

πππ33163－6＋α?＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝则cos?. ?6?6623236α4αα4α

3．若α∈[0，π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )

3333π

A. 6πC. 3

πB. 4πD．

2

4αα?4αα4αα

解析：选D 由已知得coscos＋sinsin＝0，即cos??3－3?＝cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝3333π. 2

4．函数f(x)＝cos x·(1＋3tan x)的最小正周期为( ) A．2π 3πC. 2

sin x?1＋3·解析：选A f(x)＝cos x·?cos x? ?cos x＋3sin x

＝cos x·

cos xππ

cos xcos＋sin xsin? ＝2?33??π

x－?，∴T＝2π. ＝2cos??3?5．在△ABC中，若sin Asin C

B．直角三角形 D．不确定 B．π π

D．

2

解析：选C 因为sin Asin C0，即cos(A＋C)>0，所以cos B<0，即B为钝角．

6．设α，β为钝角，且sin α＝3πA. 47πC. 4

解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝所以cos α＝－1－sin2α ＝－

1－

5310，cos β＝－，则α＋β的值为( ) 510

5π

B. 4D．

5π7π或 44

5， 5

?5?2＝－25.

5?5?310

由cos β＝－，得

10