第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8．2 三角恒等变换8．2.1 两角和与差的余弦
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 3．通过学习，提高学生逻辑推理、数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空 1．两角差的余弦
两角差的余弦公式 简记符号 使用条件
2．两角和的余弦
两角和的余弦公式 简记符号 使用条件
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)两角和与差的余弦中角α，β是任意的．( ) (2)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.( ) (3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝( )
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β Cα＋β α，β都是任意角 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β Cα－β α，β都是任意角 1
A．－
2C．－
3 2
1B. 2D．
3 2
1
解析：选B cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝.
23．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( ) 1
A. 2C．0
解析：选C 原式＝cos(75°＋15°)＝0. π
4．cos的值为( )
12A.C.6＋2
26＋2 4
B.6－2
41B．－
2D．1
D．3
6＋2ππ?πππππ1232－＝coscos＋sinsin＝×＋×＝解析：选C cos＝cos?. ?34?12343422224
题型一 给角求值问题
[学透用活]
关于两角和与差的余弦公式 (1)公式的结构特点
公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式中的角α，β
公式中的角α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整体，可以根据题目需要进行替换、变形代入，展开式仍然成立．
(3)公式的灵活应用
首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cos α＝cos[(α＋β)－β]．
[典例1] 化简求值：(1)cos 75°； (2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； π?π
－x－sin xsin?－x?； (3)cos xcos??3??3?(4)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. [解] (1)cos 75°＝cos(120°－45°) ＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45° 6－21232
＝－×＋×＝.
22224(2)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33° ＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝
3. 2
ππ1x＋－x?＝cos＝. (3)原式＝cos??3?32(4)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. [方法技巧]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[对点练清]
5ππππ
1．coscos＋cossin的值是( )
126126A．0 C.2 2
1B. 2D．
3 2
答案：C
2．计算下列各式的值：
(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)； (3)3π1πcos－sin. 212212
解：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°
＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝
3. 2
1
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
2ππππ
(3)原式＝coscos－sinsin 612612ππ?π2＋＝cos＝. ＝cos??612?42题型二 给值求值问题
[学透用活]
π416
0，?，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． [典例2] 已知α，β∈??2?565
π630，?，所以α＋β∈(0，π)，sin(α＋β)＞0，所以sin(α＋β)＝1－cos2?α＋β?＝. [解] 因为α，β∈??2?653
又cos α＝1－sin2α＝，
5所以cos β＝cos(α＋β－α) ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 163634204＝－×＋×＝.
655655325[方法技巧]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β； α＋βα－β②α＝＋；
22③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[对点练清]
1．[直接求值]已知cos θ＝－
3ππ12
π，?，则cos?＋θ?的值为________． ，且θ∈?2???4?13
3π12
π，?， 解析：∵cos θ＝－，θ∈?2??13∴sin θ＝－1－cos2θ＝－
125
－?2＝－， 1－??13?13
πππ
＋θ?＝coscos θ－sinsin θ ∴cos??4?44
＝
52?12?272－?＝－×?－13?－×?.
22?13?26
72答案：－
26
π4π3π
α＋?＝，且＜α＜，求cos α的值． 2．[变角求值]已知sin??4?544π4π3π
α＋?＝， 且＜α＜， 解：∵sin??4?544ππ
∴＜α＋＜π. 24πα＋?＝－ ∴cos??4?4?23
1－?＝－. ?5?5
?α＋π?－π? ∴cos α＝cos???4?4?
ππππ
α＋?cos＋sin?α＋?sin ＝cos??4?4?4?432422＝－×＋×＝.
525210
π1
α－?＝，求sin αcos α的值． 3．[变式求值]已知 2cos??4?5
πππ1
α－?＝2?cos αcos＋sin αsin?＝cos α＋sin α＝，解：因为2cos?所以(cos α＋sin α)2＝sin2α＋cos2α44??4??5＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝题型三 给值求角问题
[学透用活]
2510
[典例3] (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
510π111
0，?，则β＝________. (2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈??2?714[解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝5310
，cos β＝. 510
531025102
×＋×＝. 5105102
112
，所以sin αcos α＝－. 2525
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝
ππ
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<.
22π
故α－β＝.
4
π
0，?，∴α＋β∈(0，π)． (2)∵α，β∈??2?111
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
714
8.2三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦新教材教师用书新素养
