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第19课时 矩形、菱形、正方形
知能优化训练
中考回顾
1.(2017内蒙古赤峰中考)
如图,将边长为4的菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=2A=( )
A.120° B.100° C.60° D.30° 答案:A 2.(2017四川绵阳中考)
,则∠
如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点,若AC=2∠AEO=120°,则FC的长度为( ) A.1 B.2 C D 答案:A 3.(2017新疆中考)
,
如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1 cm/s的速度
向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 2
s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是 cm. 答案:3 18
4.(2017内蒙古包头中考)
如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是 . 答案: 1
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5.(2017福建中考)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 . 答案:
模拟预测
1.下列说法不正确的是( ) A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 答案:D 2.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是( )
A.12 答案:D 3.
B.24
C.12
D.16
如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:在正方形ABCD中,因为CE=DF,所以AF=DE.又因为AB=AD,∠BAF=∠D=90°,所以Rt△ABF≌Rt△DAE,所以BF=AE,∠AFB=∠DEA,∠DAE=∠ABF.因为∠DAE+∠DEA=90°,所以∠DAE+∠AFB=90°,即∠AOF=90°,所以AE⊥BF.因为S△AOB+S△AOF=S△AOF+答案:B 4.
,所以S△AOB=,故①②④正确.
如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=12 cm,EF=16 cm,则边AD的长是( ) 2
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A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.28 cm 答案:C 5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P,Q分别是AB和CD上的任意一点,且AP=CQ,线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F,交PQ于E.设AP=x,BF=y,则y与x的函数关系式为 .
解析:如图,连接PF,QF.
∵线段EF是PQ的垂直平分线,∴PF=QF. ∵在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,∴BC=AD=6. ∵AP=x,BF=y, ∴PB=8-x,CF=6-y. ∵CQ=AP=x,
∴在Rt△PBF中,PF2=PB2+BF2=(8-x)2+y2.
22222
在Rt△CQF中,QF=CF+CQ=(6-y)+x, ∴(8-x)2+y2=(6-y)2+x2,即y=x-
答案:y=x-
6.如图,正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1,然后顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2,……,依次类推,则第六个正方形A6B6C6D6的周长是 .
解析:顺次连接正方形ABCD四边的中点得到正方形A1B1C1D1,则正方形A1B1C1D1的周长是正方形ABCD的周长的倍;
顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到正方形A2B2C2D2,则正方形A2B2C2D2的周长是正方形ABCD的周长的
倍;
顺次连接正方形A2B2C2D2四边的中点得到正方形A3B3C3D3,则正方形A3B3C3D3的周长是正方形ABCD3
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的周长的
……
倍;
依次类推,则第六个正方形A6B6C6D6的周长是正方形ABCD的周长的倍.
∵正方形ABCD的边长为1,∴其周长为4. ∴第六个正方形A6B6C6D6的周长是4
答案:
7.如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,MP+NP的最小值是 .
解析:在DC上找N点关于AC的对称点N',连接MN',则MN'的长即为MP+NP的最小值,此时MN'=AD=1. 答案:1 8.在正方形ABCD中,E是CD边上一点,
(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD,AB重合,得到△ABF,如图①.观察可知:与DE相等的线段是 ,∠AFB=∠ .
(2)如图②,在正方形ABCD中,P,Q分别是BC,CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ.
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(3)在(2)题中,连接BD分别交AP,AQ于M,N,如图③,请你用旋转的思想说明BM+DN=MN.
解:(1)BF AED ∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD,AB重合,得到△ABF,
∴DE=BF,∠AFB=∠AED.
(2)将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABE,如图,则∠D=∠ABE=90°,即点E,B,P共线,∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ.
∵∠PAQ=45°, ∴∠PAE=45°,
∴∠PAQ=∠PAE.
在△APE和△APQ中,
∴△APE≌△APQ,∴PE=PQ. ∵PE=BP+BE=BP+DQ.
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∴DQ+BP=PQ.
(3)∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABD=∠ADB=45°.
如图,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABK,则∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN.
连接MK.与(2)一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK. ∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,
∴△BMK为直角三角形,∴BK2+BM2=MK2, ∴BM2+DN2=MN2.
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