第二节 矩阵可对角化的条件
定义1 如果矩阵 能与对角矩阵相似，则称可对角化。
例1
设，则有：，即
。从而可对角化。
定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
证明：必要性 如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得
将按列分块得，从而有
因此有逆，知
，所以
线性无关，故
是的属于特征值的特征向量，又由可
有个线性无关的特征向量。
充分性 设
，则有
矩阵且有：
是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为
。令
，则
是一个可逆
因此有角化。
，即，也就是矩阵可对
注 若得
，于是有
，则，对按列分块
，即
，从而
对角矩阵的元素就是矩阵
的特征值，可逆矩阵
就是由
。可见，
的线性无关的特征向量所构
成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。
定理2 矩阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证明：设征向量，现对
是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特
作数学归纳法证明线性无关。
当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。
假设的
是
的
个互不相同的特征值对应的个互不相同的特征值，
是
个特征向量是线性无关的。设的属于特征值
的特征向量。又设
(1)
成立。则有式两边同乘从而有
，再由
,将其代入(1)式得
线性无关。
，因此有
得：
，又将(1)
,由归纳假设得两两互不相同可得，从而
推论1 若 阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且
。
定理3 设向量为构成的向量组
是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征
个 ）
，则由所有这些特征向量（ 共
是线性无关的。
证明：设
，则有
，且
，记或
是
的属于特征值
，的特征
向量。若存在某个，，矛盾。因此有,
，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知
，,因此向量组线性无关。
,又由已知得
定理4设数为，则 征值
是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个
，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特
的重数。
证明：用反证法。由于程组方程组
是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方
的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性
是齐次线性方程组
。现将
,其中
是一个维向量，从而
线性表示，即：
的基础解系所含向量个数相等。设的一个基础解系,且假设扩充为一个维线性无关向量组未必是
的特征向量，但有
,则有
可由向量组
因而有：
（2）
其中有个。令，并将(2)式右端矩阵分块表示，则有
，由相似 矩阵有相同的特征多项式，得的特征多项式为：
其中是的次多项式。从而。
至少是的重特征值，与
是重特征值矛盾。所以
定理5 阶矩阵可对角化的充分必要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性
对应的齐次线性方程组
的每个特征子空间
无关的最大个数等于该特征值的重数(即的每个特征值
的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即
的维数等于该特征值
的重数）。
证明：设，其中两两不同，且有。
充分性 由于对应于性无关的特征向量，故
的特征向量有个线性无关，又可对角化。
个特征值互异，因此有个线
必要性 （反证法）设有一个特征值重数，则
所对应的线性无关的特征向量的最大个数
不能与对角矩阵相似。
的
的线性无关的特征向量个数小于，故
例2 设 ，求的特征值和特征向量，并判断是否可对角化？
矩阵可对角化的条件
