人教版高中数学必修一教学讲义-集合

由天下分享时间：2025/1/15 17:01:54 加入收藏我要投稿点赞

人教版高中数学必修一教学案

年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段《集合》全章复习巩固 □ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课教学内容《集合》全章复习巩固【知识网络】第 1 页共 11 页

【要点梳理】要点一：集合的基本概念 1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。 2．元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A。 3．集合中元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。 4．集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作?，空集归入有限集。要点二：集合间的关系 1．子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B，对于任何集合A规定??A。两个集合A与B之间的关系如下： ??A?B?A?B且B?A?A?B? ??A?B?ATB??AúB其中记号AúB（或B?A）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。 2．子集具有以下性质：（1）AúA，即任何一个集合都这是它本身的子集。（2）如果A?B，B?A，那么A=B。

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（3）如果A?B，B?C，那么A?C。（4）如果ATB，BTC，那么ATC。 3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么A?B（或B?A）。不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么AúB（或B?A）。 4．有限集合的子集个数：（1）n个元素的集合有2n个子集。（2）n个元素的集合有2n－1个真子集。（3）n个元素的集合有2n－1个非空子集。（4）n个元素的集合有2n－2个非空真子集。要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．要点三：集合的基本运算 1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。 2．用维恩图表示交集与并集。已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。 3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：（1）A∩A=A，A∩?=?，A∩B=(B∩A)?A（或B）； A∪A=A，A∪?=A，A∪B=(B∪A)?A（或B）。（2）AI(eUA)??；AU(eUA)?U。（3）德摩根定律：(痧UA)I(UB)??U(AUB)；(痧UA)U(UB)??U(AIB)。；（4）AIB?A?A?B；AUB?A?B?A。 4．全集与补集（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之第 3 页共 11 页

为全集。而补集则是在A?U时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作eUA。数学表达式：若A?U，则U中子集A的补集为eUA?{x|x?U且x?A}。（2）补集与全集的性质 ①痧U(UA)?A ②A?U，eUA?U。 ③eUU??，eU??U。 5．空集的性质空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有???，??{?}；AI???；AU??A；??A。【典型例题】类型一：集合的含义与表示例1．选择恰当的方法表示下列集合。（1）“mathematics”中字母构成的集合；（2）不等式x?1?0的解集；（3）函数y?2x?4的自变量的取值范围。【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。举一反三：【变式1】将集合?(x,y)|????x?y?5??表示成列举法，正确的是（） 2x?y?1??A.{2，3} B.{（2，3）} C.{x=2，y=3} D.（2，3）【变式2】已知集合A???x,y? ∣x,y为实数，且x2?y2?1?，B???x,y?x,y为实数，且y?x?，则A?B的元素个数为（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 例2．若含有三个元素的集合可表示为?a,

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??b?,1?，也可以表示为a2,a?b,0，求a2009?b2009的值。 a??? 举一反三：【变式1】若?3?a?3,2a?1,a2?1。求实数a的值。例3．已知集合A?x|mx2?2x?3?0,m?R （1）若A是空集，求m的取值范围。（2）若A中只有一个元素，求m的值。（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围。类型二：集合的基本关系例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，或ATB，则a的取值范围是________。

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