连续型随机变量函数的分布问题研究
孙建红
【摘 要】[摘 要] 采用分布函数法或者公式法能够计算变量分布情况，公式法的计算条件比较复杂，采用分布函数法分析连续型随机变量函数分布问题，讨论连续型和离散型随机变量函数分布的公式，并介绍了基于数形结合法的连续型随机变量函数分布的求解方法。 【期刊名称】《保山学院学报》 【年(卷),期】2019(038)005 【总页数】4
【关键词】[关键词] 连续型随机变量；分布函数法；密度函数；数形结合法 采用分布函数法或者公式法能够计算变量分布情况，公式法的计算条件比较复杂，本文采用分布函数法分析连续型随机变量函数分布问题。存在一个一维的随机变量函数η=f(ξ)，函数在y=f(x)的单调可微条件下，提出求解随机变量密度函数的公式[1-2]。对于二维随机变量的函数η=f(ξ1,ξ2)，针对一些比较特殊的随机变量函数给出密度函数公式，例如η=ξ1+ξ2以及。本文主要研究多个随机变量函数分布问题，并给出其密度函数公式。最后，采用数形结合方法，分析连续型随机变量函数分布问题的求解方法，将图形几何性质和微积分函数理论结合起来，随机事件发生的概率和图形面积联系起来，分析依赖图形确定积分区域上限和下限的方法。
1 连续型随机变量中的连续性界定
连续型的随机变量和离散型随机变量之间存在明显不同[3]，采用函数F(x)来界定连续型随机变量，如果可以将x的分布函数用非负函数f(x)的变上限积分模
式来表示，就可以将其称为连续型随机变量。 （1）针对随机变量X，存在下列性质：
按照上述性质，可以看出连续型的随机变量多数是讨论相互持续点集中值的发生概率，例如在一个区间中，在某一个点发生的概率为0。也就是说，连续型随机变量分析的问题主要是分布在固定区间内、固定数轴或者半数轴的。如果取值的点集是数轴、半数轴或者有限区间的随机变量，这不一定是连续型函数，所以无法用连续型随机变量全部点集的特征来概括这个函数[4]。
（2）X为一个连续型随机变量，如果f(x)表示的是密度函数，F(X)表示的是分布函数，那么在f(x)的连续点有：
f(x)表示的是一个在XOY坐标平面中的图像，是一个处于第一和第二象限的曲线，曲线与X轴之间的面积为1，但是f(x)函数并不是在整个数轴之间的连续函数，不连续的各个点是独立存在的有限的点集，从主体层面来看，它依旧是分段式连续函数，并且函数f(x)在连续点处有F(X)可导。上述性质中的a和b都是f(x)是连续型随机变量函数的充分必要条件。
（3）按照高等数学中变上限积分函数的性质，可知F(X)在（－∞,+∞）的范围内是连续的。连续型随机变量的概率累积是逐渐积累的，并不存在跳跃式的增长。右连续的函数也可以表现出连续的特点，但是并不能充分说明该函数是连续函数，连续函数的所有变量都应该表现出连续型特征[5]。
2 连续型随机函数分布的部分性质与证明
定理1 假设存在随机变量ξ，是取值在(a,b)范围内的连续型变量，-∞≤a＜b≤+∞，函数y=g(x)在随机变量的正密集符合严格单调，可微并且导数不为零，那么η=g(ξ)是连续型的随机变量，并且可以将该随机变量的概率密度表示为：
上式中，g-1(y)与g(x)互为反函数，并且。
证明：根据现有条件，可知η=g(ξ)表示变量，∈(α,β)。如果y≤α，那么Fη(y)=P(g(ξ)≤y)=0；如果y≥β，那么Fη(y)=P(η≤y)=P(g(ξ)≤y)=1；如果β≤y≤α时，g(x)是增函数，那么：
那么可以得出；如果g(x)是减函数，那么可以得出并且。
定理2 假设定理1中，函数y=g(x)在随机变量的正密集为非严格单调，但是可以将(a,b)划分为多个区间(ak,bk］=1,2,3,…,，保证函数y=g(x)在任何一个区间内都可以满足定理1，那么可以将η=g(ξ)的概率密度函数表示为： 式中的，gk-1(y)与y=g(x)在区间(ak,bk］上互为反函数，其中。
证明：假设在区间(ai,bi］上，y=g(x)是单调递增，在区间(aj,bj］上为单调递减，那么：
其中表示对下标i的求和，表示对下标j的求和，进而根据定理1的证明，可以完成证明。
定理3 假设随机变量ξ按照的规律分布，是表示变量的概率密度，z=g(x,y)是二元函数，函数在点xi(i=1,2,3,…)上定义，g(xi,y)(i=1,2,3,...)是变量y的连续函数，那么ζ=g(ξη)的分布函数可以表示为，当变量ξ和η是相互独立的，那么，式中代表的是在ξ=xi条件下的η条件密度函数，并且当pi=0时。 证明：
当变量ξ和η是相互独立的，那么：
3 应用举例
某个商店每周销售农产品商品数量表示为ξ，服装销售数量可以表示为η，ξ服从P(ξ=0)=0.05、P(ξ=1)=0.15、P(ξ=2)=0.5、P(ξ=3)=0.3的分布规律，且
连续型随机变量函数的分布问题研究
