人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：
① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a 项系数； c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）
2
2；③是整式方程。
≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次
2
） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，
地，
2
另一边是非负数， 可以直接开平方。 一般
对于形如 x =a(a ≥0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x1= a ,x 2=
a .
（2） ） 直接开平方法适用于解形如 x =p 或(mx+a) 平方法。
2 2
=p(m≠ 0) 形式的方程，如果 p≥ 0，就可以利用直接开
（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个， 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项 的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （ 1） 把常数项移到等号的右边；
⑵方程两边都除以二次项系数；
⑷ 若等号右边为非负数，
⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程 （1）
） 一般地 ， 对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) ， 如果 b -4ac ≥ 0 ， 那么方程的两 个根为
b
b
2
2 2
x=
4ac
2a
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元
二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）
） 一元二次方程求根公式的推导过程，
形式的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) 的过程。
（3）
就是用配方法解一般
2
） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
2
① 方程化为一般形式： ax +bx+c=0(a≠0) ，一般 a 化为正值
2
2
②确定公式中 a,b,c 的值， 注意符号；
2
③求出 b -4ac 的值； 则方程无实数根。
④若 b -4ac ≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b -4ac ＜ 0，
知识点二 一元二次方程根的判别式
2 2 2
式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0(a≠ 0) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ =b -4ac. 一元二次方程根的判别式
△＞ 0，方程 ax +bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根 △=0，方程 ax +bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根 △＜ 0，方程 ax +bx+c=0(a≠0) 无实数根
2 2 2
21.2 ．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）
） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2）
） 因式分解法的详细步骤：
0；
① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据 适用范围
直接开平方平方根的意义
形如 x =p 2
或（mx+n） 2
=p(p ≥0)
法 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或
一边为 0，另一边易于分解成两b=0
个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程 x +px+q=02
的两个根为 x1,x 2, 则有 x1+x2=-p,x 1x2=q.
若一元二次方程 a x+bx+c=0(a2 ≠ 0) 有两个实数根 x ,x , 1 2 则有 x +x =1 2 ， b
a ,x 1 x =
2 c a
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1） ） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） ） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）
） 列：就是列方程，这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4） ） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6）
） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）
） 数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1 ， x+1。 三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2 。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c ，则这个三位数是 100a+10b+c.
（2）
） 增长率问题
设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为
（ 1 x） 2
=b。
（3） ）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润 =总销售价 - 总成本；②总利润 =单位利润×总销售量；③利润成本×利润率
a
=
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