[学生用书P267(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·x2－4的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3
D．4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.
?1?的零点所在的区间是( ) 2．函数y＝x－4·?2?A．(0，1) C．(2，3)
B．(1，2) D．(3，4)
x
x－2
x
1??1?解析：选B.因为y＝f(x)＝x－4?＝x－?2??2?是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，
x
?1?的零点所在的区间为(1，2)．故选B. f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·?2?3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0
所在的区间是( )
A．(0，1) C．(2，3)
B．(1，2) D．(3，4)
解析：选C.令m(x)＝log3x＋x－3，则函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3单调递增且连续，且满足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C.
x2??2－x，x≥0，4．(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝?则函数f(x)在(－6，
??1－ln（x＋6），－6 ＋∞)上的零点个数为( ) A．1 C．3 B．2 D．4 x2??2－x，x≥0， 解析：选C.由题知函数f(x)＝?在(－6，＋∞)上有零点，则 ?1－ln（x＋6），－6 ???x≥0，?－6 ??或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函数f(x)在(－6，＋∞)?2x－x2＝0??1－ln（x＋6）＝0，? 上的零点个数为3.故选C. 5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是( ) 10，? A.??e?C．(0，1) 12? B．??e，e? 1?D．??e，＋∞? 解析：选A.g(x)有三个零点，即y＝f(x)与y＝mx的图象有三个交点，作出y＝f(x)和y＝mx的图象如图．当y＝mx与y＝f(x)相切时，mx＝ln x0，??011 设切点坐标为(x0，ln x0)，则?1解得m＝.则当0 ee ??x0＝m，直线y＝mx与曲线y＝f(x)有三个交点，即函数g(x)有三个零点．故选A. 6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零点在(0，1]上，则实数m的取值范围为______． 解析：由题意知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在定义域上单调递增，又由函数f(x)在(0， ?f（0）<0，?log2（0＋1）＋3×0＋m<0，?? 1]上存在零点，得?即?解得－4≤m<0，即实数m ??f（1）≥0，log（1＋1）＋3×1＋m≥0，??2 的取值范围为[－4，0)． 答案：[－4，0) 1? 7．已知函数f(x)＝??2?－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________． x 1?解析：如图，作出g(x)＝??2?与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3. 答案：3 1?8．函数f(x)＝??2? |x－1| x ＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________． |x－1| 1?解析：可转化为两个函数y＝??2? 与y＝－2cos πx在[－4，6]上的交点的横坐标的和， 因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10. 答案：10 9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围． 解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0 ＋，又因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋在(0，2]上的xxx取值范围是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]． 1 1－?(x>0)． 10．设函数f(x)＝??x?(1)作出函数f(x)的图象； 11 (2)当0 ab (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解：(1)如图所示． 11－? (2)因为f(x)＝??x??x－1，x∈（0，1]， ＝? 1 ?1－x，x∈（1，＋∞）， 故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0 且－1＝1－，所以＋＝2. abab (3)由函数f(x)的图象可知，当0 [综合题组练] 21．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－ x的零点，则g(x0)等于( ) A．1 C．3 B．2 D．4 1 2 解析：选B.f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故选 3B. 2．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( ) A．1 C．e B．－1 1 D． e 1 解析：选A.考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的 x11 x1，?，B?x2，?两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A. 横坐标，而A?x?x??? 1 2 2??ax＋2x＋a（x≤0） 3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝?，有且只有1个零点， ?ax－3（x>0）? 则实数a的取值范围是______． 1?2?1?1?解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a?－a?＋2?－a?a ?2x（x≤0），? ＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝?恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则 ?－3（x>0）? f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点，故答案为a＝0或a>1. 答案：a＝0或a>1 2??|x＋5x＋4|，x≤0， 4．已知函数f(x)＝?若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的 ?2|x－2|，x＞0? 取值范围为________． 解析： 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则a＞0. 当a≥2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点， 此时在y轴左侧，射线y＝－ax(x≤0)与抛物线y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切． 2??y＝－x－5x－4， 由?消去y， ??y＝－ax 得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9. a＝1与a≥2矛盾，a＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意． 当0＜a＜2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2. 答案：(1，2) 1??x＋，x>0，5．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝?4x ??x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝5 g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交 451，?. 点，即所求a的取值范围是??4?x＋1 6．设函数f(x)＝，x∈R且x≠1. x－1 1??1??1??1?(1)求f??10?＋f?8?＋f?6?＋f?4?＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值； (2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数． 1 ＋1xx＋111＋x1＋x?＝解：(1)根据题意，函数f(x)＝，则f?＝＝－， ?x?1x－11－xx－1－1x1?则f(x)＋f??x?＝0， 1??1??1??1??1?＋f(10)＋f?1?＋f(8)＋f?1?＋f(6)则f?＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f?10??8??6??4??10??8??6?1?＋f??4?＋f(4)＝0. x＋12 (2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2， x－1x－1令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]， 22t2－2 则设h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－2＝2， ttt 分析可得，在区间[1，2)上，h(t)单调递减，在区间[2，2]上，h(t)单调递增； 则h(t)在[1，2]有最小值h(2)＝22＋2， 且h(1)＝h(2)＝5， 则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2， 方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数， 分析可得，当m＜22＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；
2021版高考理科数学(人教A版)一轮复习 教师用书 第8讲
