数学
∴∠CDE＝∠DCA＝45°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE与⊙O相切； （2）∵⊙O的半径为5， ∴AC＝10， ∴AD＝CD＝5
，
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝8， ∴BC＝6，
∵∠BAD＝∠DCE， ∵∠ABD＝∠CDE＝45°， ∴△ABD∽△CDE， ∴∴∴CE＝
＝＝． ，
，
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，光杆司令，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20. （2019?山东省济宁市 ?8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是
的中
点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
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数学
【考点】圆的切线
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tanC＝tan∠ODB＝＝，设HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到DF＝
，HF＝
，根据相似三角形的
性质得到CF＝＝，求得AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，根据勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝
＝， 的中点，
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数学
∴设HF＝3x，DF＝4x， ∴DH＝5x＝9， ∴x＝， ∴DF＝
，HF＝
，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴
＝
，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣
，
∵AF2+OF2＝OA2， ∴（
）2+（x﹣
）2＝x2，
解得：x＝10， ∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
21. （2019?山东省聊城市?10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC
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数学
于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
【考点】圆的切线
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长． 【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径， ∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠ACE+∠A＝90°， ∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°， ∵∠ODA＝∠CDE， ∴∠CDE+∠A＝90°，
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数学
∴∠CDE＝∠ACE， ∴EC＝ED；
（2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE， ∴∠CDE+∠ECF＝90°， ∵∠CDE+∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F， ∴EC＝EF， ∵EF＝3， ∴EC＝DE＝3， ∴OE＝
∴OD＝OE﹣DE＝2， 在Rt△OAD中，AD＝在Rt△AOD和Rt△ACB中， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD， ∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴即∴AC＝
， ， ．
＝2
，
＝5，
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
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九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题31 点直线与圆的位置关系(含解析)
