数学
点直线与圆的位置关系
一.选择题
1. （2019?江苏苏州?3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD，若?ABO?36，则?ADC的度数为（） A．54
AB．36 C．32 D．27
DOCB
【分析】主要考察圆的切线性质、三角形的内角和等，中等偏易题型 【解答】切线性质得到?BAO?90 ??AOB?90?36?54 OD?OA ??OAD??ODA ?AOB??OAD??ODA
??ADC??ADO?27
故选D
2. （2019?湖北天门?3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据
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相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到
，于是得到ED?BC＝BO?BE，故④正确．
【解答】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E，
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∴△EDA∽△EBD，故③正确； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°， ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴
，
∵OD＝OB，
∴ED?BC＝BO?BE，故④正确； 故选：A．
【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
3.（2019?黑龙江哈尔滨?3分）如图，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接AC.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．60°
B．75°
C．70°
D．65°
【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数． 【解答】解：连接OA.OB，
∵PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
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∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°． 故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
二.填空题
1 （2019?江苏连云港?3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则
的最大值是 3 ．
【分析】先判断出
最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进
而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E， ∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB， ∴
，
∵AB＝4，
∴AE＝AB+BE＝4+BE， ∴
，
最大，
∴BE最大时，
∵四边形ABCD是矩形，
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∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G， ∵BD是⊙C的切线， ∴∠GME＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝
＝5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC， ∴△BHC∽△BCD， ∴， ∴
，
∴BH＝，CH＝
，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA， ∴△BHG∽△BAD， ∴
＝
，
∴， ∴HG＝
，BG＝，
在Rt△GME中，GM＝EG?sin∠AEP＝EG×＝EG， 而BE＝GE﹣BG＝GE﹣， ∴GE最大时，BE最大， ∴GM最大时，BE最大， ∵GM＝HG+HM＝
+HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，
∴GP'＝HP'+HG＝
，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F， ∴BE最大时，点E落在点F处，
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九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题31 点直线与圆的位置关系(含解析)
