2019年
8＋6分项练4 平面向量与数学文化
→→→
1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO等于( )
A.12a＋12b B.112a＋4b C.14a＋12b D.114a＋4b 答案 B
解析 ∵在△ABC中，BE是AC边上的中线， ∴→AE＝1→2AC，
∵O是BE边的中点， ∴→AO＝1→→
2(AB＋AE)，
∴→AO＝1→2AB＋1→4AC，
∵→AB＝a，→
AC＝b， ∴→AO＝1
12a＋4
b.
2．(2018·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则→AD·→
AE等于( A.489 B.9 C.269 D.263 答案 C 解析 如图，
|→AB|＝|→AC|＝2，〈→AB，→AC〉＝60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点，
) 2019年
→→?→1→??→1→??2→1→??1→2→?∴AD·AE＝?AB＋BC?·?AC＋CB?＝?AB＋AC?·?AB＋AC?
3??3??33??33??2→25→→2→2
＝|AB|＋AB·AC＋|AC| 999251226＝×4＋×2×2×＋×4＝. 99299
3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A．65 B．176 C．183 D．184 答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 8×7由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
2解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中
OA＝1，则给出下列结论：
2→→→→
①HD·BF＝0；②OA·OD＝－；
2
→→→→→
③OB＋OH＝－2 OE；④|AH－FH|＝2－2. 其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1 答案 B
解析 正八边形ABCDEFGH中，HD⊥BF， →→
∴HD·BF＝0，故①正确； →→
OA·OD＝1×1×cos
→
→
→
3π2
＝－，故②正确； 42
→
OB＋OH＝2 OA＝－2 OE，故③正确；
→→→→→
|AH－FH|＝|AF|＝|OF－OA|，
2019年
3π→2
则|AF|＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋2，
4→
∴|AF|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.
→→
5．(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA·PB＋→
PA·PC的最小值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案 C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．
→
设点P的坐标为(x，y)，
→→
则PA＝(－x，2－y)，PO＝(－x，－y)，
22→→→→→→→→→＝2PA(x＋y－2y) 故PA·PB＋PA·PC＝PA·PB·PO＝2＋PC()
＝2[x＋(y－1)]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．
2
2
→→→→
所以PA·PB＋PA·PC的最小值为－2.
6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )
A.3 2
3 2
B.3 4
3 4
C．1－D．1－答案 C
解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k，3k(k>0)， 则大正方形的边长为2k，小正方形的边长为(3－1)k， 所以大正方形的面积为4k，小正方形的面积为(3－1)k，
2
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(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化 文
